use método de bisección para encontrar p3 para f(x) = (raíz de x) - cos (x) = 0 en el intervalo [0, 1]

El método de bisección es un método numérico para encontrar raíces de funciones continuas. Dado el problema que tienes, \( f(x) = \sqrt{x} - \cos(x) \), y el intervalo \([0, 1]\), primero debemos verificar que \( f(x) \) cambie de signo en el intervalo, lo cual indicaría que hay al menos una raíz. 1. **Definir la función**: \[ f(x) = \sqrt{x} - \cos(x) \] 2. **Evaluar la función en los extremos del intervalo**: - \( f(0) = \sqrt{0} - \cos(0) = 0 - 1 = -1 \) - \( f(1) = \sqrt{1} - \cos(1) = 1 - \cos(1) \) (Aproximadamente \( \cos(1) \approx 0.5403 \), entonces) - \( f(1) \approx 1 - 0.5403 \approx 0.4597 \) Ahora tenemos que \( f(0) < 0 \) y \( f(1) > 0 \), por lo que hay al menos una raíz en el intervalo \([0, 1]\). 3. **Aplicar el método de bisección**: Se realiza el siguiente procedimiento iterativo hasta lograr la precisión deseada (en este caso find \( p_3 \)): - Definir \( a = 0 \) y \( b = 1 \). - Calcular el punto medio \( c = \frac{a + b}{2} \). - Evaluar \( f(c) \). - Determinar el nuevo intervalo: - Si \( f(c) < 0 \), entonces \( a = c \). - Si \( f(c) > 0 \), entonces \( b = c \). - Si \( f(c) = 0 \), entonces \( c \) es la raíz y se puede detener el procedimiento. ### Iteraciones: #### Iteración 1: - \( a = 0 \), \( b = 1 \) - \( c_1 = \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \) - \( f(0.5) = \sqrt{0.5} - \cos(0.5) \) (aproximadamente \( 0.7071 - 0.8776 \approx -0.1705 \)) - \( f(0.5) < 0 \), entonces \( a = 0.5 \). #### Iteración 2: - \( a = 0.5 \), \( b = 1 \) - \( c_2 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75 \) - \( f(0.75) = \sqrt{0.75} - \cos(0.75) \) (aproximadamente \( 0.866 - 0.7317 \approx 0.1343 \)) - \( f(0.75) > 0 \), entonces \( b = 0.75 \). #### Iteración 3: - \( a = 0.5 \), \( b = 0.75 \) - \( c_3 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625 \) - \( f(0.625) = \sqrt{0.625} - \cos(0.625) \) (aproximadamente \( 0.7906 - 0.8090 \approx -0.0184 \)) - \( f(0.625) < 0 \), entonces \( a = 0.625 \). Al finalizar esta iteración, tenemos \( p_3 = 0.625 \) y sabemos que la raíz está en el intervalo \([0.625, 0.75]\). Este proceso puede continuar hasta alcanzar el nivel de precisión deseado y así encontrar sucesivas aproximaciones de la raíz.