Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de locidad y aceleración de la punta en función del tiempo. 4.00 Hz y amplitud de 1.80 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x = 0 a x = -1.80 cm?

Para resolver este problema, primero necesitamos entender cómo se describe el movimiento armónico simple (MAS) de la pieza de la máquina. La posición \( x(t) \) de un objeto en MAS se puede describir con la siguiente ecuación: \[ x(t) = A \cdot \cos(2\pi f t + \phi) \] Donde: - \( A \) es la amplitud (en este caso \( A = 1.80 \) cm) - \( f \) es la frecuencia (4.00 Hz, en este caso) - \( \phi \) es la fase inicial (asumiremos que \( \phi = 0 \) para simplificar) Dado que estamos considerando que \( \phi = 0 \), la ecuación de la posición se simplifica a: \[ x(t) = A \cdot \cos(2\pi f t) = 1.80 \cdot \cos(2\pi \cdot 4.00 \cdot t) \] Para calcular el tiempo que tarda la pieza en ir de \( x = 0 \) a \( x = -1.80 \, \text{cm} \), buscaremos primero el tiempo \( t_1 \) cuando \( x = 0 \) y luego el tiempo \( t_2 \) cuando \( x = -1.80 \, \text{cm} \). 1. Para encontrar \( t_1 \): \[ x(t_1) = 0 \implies 1.80 \cdot \cos(2\pi \cdot 4.00 \cdot t_1) = 0 \] Esto ocurre cuando \( \cos(2\pi \cdot 4.00 \cdot t_1) = 0 \). Esto sucede cada \( \frac{1}{8} \) segundos porque la función coseno es cero en \( \frac{\pi}{2} + n\pi \) donde \( n \) es un entero. Por lo tanto: \[ 2\pi \cdot 4.00 \cdot t_1 = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) \] Para \( n = 0 \): \[ t_1 = \frac{1}{8} \text{ s} \] 2. Para encontrar \( t_2 \): \[ x(t_2) = -1.80 \, \text{cm} \implies 1.80 \cdot \cos(2\pi \cdot 4.00 \cdot t_2) = -1.80 \] Esto ocurre cuando \( \cos(2\pi \cdot 4.00 \cdot t_2) = -1 \). Esto sucede en: \[ 2\pi \cdot 4.00 \cdot t_2 = \pi + 2n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) \] Para \( n = 0 \): \[ 2\pi \cdot 4.00 \cdot t_2 = \pi \implies t_2 = \frac{1}{8} \text{ s} \Rightarrow \frac{1}{8} \text{ s} \] Para \( n = 1 \): \[ 2\pi \cdot 4.00 \cdot t_2 = 3\pi \implies t_2 = \frac{3}{8} \text{ s} \] 3. El tiempo total para ir de \( x = 0 \) a \( x = -1.80 \, \text{cm} \) es la diferencia: \[ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{3}{8} \text{ s} - \frac{1}{8} \text{ s} = \frac{2}{8} \text{ s} = \frac{1}{4} \text{ s} = 0.25 \text{ s} \] Por lo tanto, la pieza tarda **0.25 segundos** en ir de \( x = 0 \) a \( x = -1.80 \, \text{cm} \).