Una máquina de Carnot, formada por un sistema cilindro-pistón, trabaja con 1mol de gas un ideal con 𝐶𝑝,𝑚 (gi) = 85.2986 J/(mol ∙ K) como sustancia de trabajo. La expansión isotérmica ocurre a 630°C desde un volumen de 3.4 litros hasta 15 litros. Si el

Para un ciclo de Carnot operando con un gas ideal, analizaremos cada parte del ciclo y realizaremos las estimaciones solicitadas. ### (a) Variables para cada estado: 1. **Estado 1 (Inicio de la expansión isotérmica):** - Temperatura (\( T_1 = 630°C = 903.15 K \)) - Volumen (\( V_1 = 3.4 L = 0.0034 m^3 \)) - Presión (\( P_1 \)): Vamos a calcularla usando la ecuación de estado del gas ideal, \( PV = nRT \): \[ P_1 = \frac{nRT_1}{V_1} \] \[ P_1 = \frac{(1 \, \text{mol})(8.314 \, \text{J/(mol \cdot K)})(903.15 \, \text{K})}{0.0034 \, \text{m}^3} \approx 2254501.58 \, \text{Pa} \approx 22.54 \, \text{bar} \] 2. **Estado 2 (Fin de la expansión isotérmica):** - Temperatura (\( T_2 = 630°C = 903.15 K \)) (isotérmica) - Volumen (\( V_2 = 15 L = 0.015 m^3 \)) - Presión (\( P_2 \)): \[ P_2 = \frac{nRT_2}{V_2} \] \[ P_2 = \frac{(1 \, \text{mol})(8.314)(903.15)}{0.015} \approx 1305300.44 \, \text{Pa} \approx 13.05 \, \text{bar} \] 3. **Estado 3 (Compresión adiabática):** - Temperatura (\( T_3 = 110°C = 383.15 K \)) - Volumen (\( V_3 \)): Se puede calcular usando la relación de adiabaticidad. Para la compresión adiabática del gas ideal: \[ \left(\frac{T_1}{T_3}\right) = \left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma - 1} \] Donde \( \gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{v,m}} \) y \( C_{v,m} = C_{p,m} - R \). \[ C_{v,m} = 85.2986 - \left(\frac{8.314}{1}\right) \approx 76.9846 \, \text{J/(mol \cdot K)} \] \[ \gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{v,m}} \approx \frac{85.2986}{76.9846} \approx 1.107 \] Resolviendo para \( V_3 \): \[ V_3 = V_2 \left(\frac{T_1}{T_3}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}} \approx 0.015 \left(\frac{903.15}{383.15}\right)^{\frac{1}{0.107}} \approx 0.003028 \, m^3 \approx 3.03 L \] - Presión (\( P_3 \)): \[ P_3 = \frac{nRT_3}{V_3} \approx \frac{(1)(8.314)(383.15)}{0.003028} \approx 1050481.75 \, \text{Pa} \approx 10.50 \, \text{bar} \] 4. **Estado 4 (Fin de la compresión adiabática):** - Temperatura (\( T_4 = 110°C = 383.15 K \)) (isotérmica) - Volumen (\( V_4 \)): \( V_4 = V_1 = 3.4 L \) - Presión (\( P_4 \)): \[ P_4 = \frac{nRT_4}{V_4} \approx \frac{(1)(8.314)(383.15)}{0.0034} \approx 801769.21 \, \text{Pa} \approx 8.02 \, \text{bar} \] Resumen: | Estado | \( T \) (K) | \( V \) (m³) | \( P \) (Pa) | |--------|-------------|---------------|----------------| | 1 | 903.15 | 0.0034 | 2254501.58 | | 2 | 903.15 | 0.015 | 1305300.44 | | 3 | 383.15 | 0.003028 | 1050481.75 | | 4 | 383.15 | 0.0034 | 801769.21 | ### (b) Trabajo y calor en cada proceso: 1. **Expansión isotérmica (1 → 2)**: \[ Q_{12} = nRT_1 \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right) = (1)(8.314)(903.15) \ln\left(\frac{0.015}{0.0034}\right) \] \[ W_{12} = Q_{12}, \text{ ya que } \Delta U = 0 \] 2. **Compresión adiabática (2 → 3)**: \[ Q_{23} = 0 \text{ (no hay transferencia de calor)} \] \[ W_{23} = \Delta U = nC_{v,m}(T_3 - T_2) = (1)(76.9846)(383.15 - 903.15) \] 3. **Compresión isotérmica (3 → 4)**: \[ Q_{34} = nRT_3 \ln\left( \frac{V_4}{V_3} \right) \] \[ W_{34} = -Q_{34} \] 4. **Expansión adiabática (4 → 1)**: \[ Q_{41} = 0 \] \[ W_{41} = \Delta U = nC_{v,m}(T_1 - T_4) \] ### (c) Potencia de la máquina: La potencia se puede estimar teniendo en cuenta el trabajo total por ciclo y la frecuencia. 1. El trabajo en cada proceso es calculado como se mencionó anteriormente, y luego sumamos los trabajos netos (considerando signos). 2. La potencia se calcula como: \[ P = \frac{W_{\text{neto}}}{T_{\text{ciclo}}} \] Donde \( T_{\text{ciclo}} \) es el tiempo total para completar un ciclo a la frecuencia de 500 RPM. Dado que no se especifica \( T_{\text{ciclo}} \), tomaremos que se realiza un ciclo en \( \frac{60 \, \text{s}}{500 \text{RPM}} = 0.12 \, \text{s} \). ### (d) Diagramas \( P-V \) y \( T-S \): El diagrama \( P-V \) y el diagrama \( T-S \) se pueden esbozar utilizando los puntos calculados. El proceso tiene la forma típica de un ciclo de Carnot: 1. **Diagrama \( P-V \)**: - Desde (1) a (2): - \( P \) disminuye, \( V \) aumenta (expansión isotérmica). - Desde (2) a (3): - \( P \) disminuye, \( V \) disminuye (compresión adiabática). - Desde (3) a (4): - \( P \) aumenta, \( V \) es constante. - Desde (4) a (1): - \( P \) disminuye, \( V \) aumenta (compresión isotérmica). 2. **Diagrama \( T-S \)**: - Desde (1) a (2): - \( S \) aumenta (expansión isotérmica a temperatura constante). - Desde (2) a (3): - \( S \) disminuye (compresión adiabática a temperatura constante). - Desde (3) a (4): - \( S \) es constante (compresión isotérmica). - Desde (4) a (1): - \( S \) disminuye (expansión adiabática). Lamentablemente, no puedo hacer un esbozo gráfico directo aquí, pero puedes dibujar estos diagramas basándote en las transiciones descritas. ### Nota: Las referencias a \( W_{\text{neto}} \) y otros cálculos se pueden llevar a cabo numéricamente una vez que se realicen los cálculos anteriores correspondientes a cada proceso.