Un protón es lanzado en un campo eléctrico uniforme con una rapidez de Vo=7E6 m/s a un ángulo de 30º. El campo eléctrico entre las placas tiene una magnitud de E=2E6N/C. Se observa que el protón sale del campo sin golpear las placas. Se sabe que el ancho

Para resolver el problema, consideramos el lanzamiento de un protón en un campo eléctrico uniforme. Empezaremos determinando el tiempo que el protón tarda en escapar del campo y luego hallaremos su velocidad final. ### Datos del problema: - Velocidad inicial \( V_0 = 7 \times 10^6 \, m/s \) - Ángulo de lanzamiento \( \theta = 30^\circ \) - Magnitud del campo eléctrico \( E = 2 \times 10^6 \, N/C \) - Ancho de la placa \( a = 12 \, cm = 0.12 \, m \) ### a) Tiempo que el protón tarda para escapar del campo La distancia horizontal que el protón deberá recorrer para salir del campo eléctrico (la anchura \( a \) de las placas) se relaciona con el componente horizontal de la velocidad y el tiempo. El componente horizontal de la velocidad \( V_{0x} \) se calcula así: \[ V_{0x} = V_0 \cdot \cos(\theta) = 7 \times 10^6 \cdot \cos(30^\circ) = 7 \times 10^6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6.06 \times 10^6 \, m/s \] El tiempo \( t \) que el protón tarda en recorrer la distancia \( a \) se obtiene con la fórmula: \[ t = \frac{a}{V_{0x}} = \frac{0.12 \, m}{6.06 \times 10^6 \, m/s} \approx 1.98 \times 10^{-8} \, s \] Convertimos el tiempo a nanosegundos (1 ns = \(10^{-9} s\)): \[ t \approx 19.8 \, ns \] ### b) Rapidez del protón cuando se escapa del campo Para calcular la rapidez del protón cuando sale del campo, necesitamos determinar si el protón experimenta alguna aceleración vertical debido al campo eléctrico. La fuerza sobre el protón en el campo eléctrico se da por: \[ F = qE \] Donde \( q \) es la carga del protón (\( q \approx 1.6 \times 10^{-19} \, C \)) y \( E = 2 \times 10^6 \, N/C \). La aceleración \( a \) en la dirección vertical se calcula utilizando la segunda ley de Newton: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} \] La masa del protón \( m \approx 1.67 \times 10^{-27} \, kg \). \[ a = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) (2 \times 10^6)}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 1.92 \times 10^{11} \, m/s^2 \] El componente vertical de la velocidad inicial se obtiene así: \[ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(\theta) = 7 \times 10^6 \cdot \sin(30^\circ) = 7 \times 10^6 \cdot 0.5 = 3.5 \times 10^6 \, m/s \] Ahora, la velocidad vertical \( V_{y} \) al salir del campo eléctrico, teniendo en cuenta la aceleración constante durante el tiempo \( t \), es: \[ V_{y} = V_{0y} + at \] Sustituyendo los valores: \[ V_{y} = 3.5 \times 10^6 + (1.92 \times 10^{11})(1.98 \times 10^{-8}) \] Calculamos la segunda parte: \[ V_{y} = 3.5 \times 10^6 + 3.8 \times 10^3 \approx 3.5 \times 10^6 + 0.0038 \times 10^6 \approx 3.5000038 \times 10^6 \, m/s \] Ahora podemos hallar la rapidez total al salir del campo \[ V = \sqrt{V_{0x}^2 + V_{y}^2} \] Sustituyendo los valores: \[ V \approx \sqrt{(6.06 \times 10^6)^2 + (3.5 \times 10^6)^2} \] Calculamos los cuadrados y la raíz: \[ V \approx \sqrt{(36.72 \times 10^{12}) + (12.25 \times 10^{12})} \approx \sqrt{48.97 \times 10^{12}} \approx 7.0 \times 10^6 \, m/s \] Finalmente, convertimos esto a \( E6 \, m/s \): \[ V \approx 7.0 \, E6 \, m/s \] ### Resumen de resultados: - a) Tiempo para escapar del campo: \( \approx 19.8 \, ns \) - b) Rapidez al escapar del campo: \( \approx 7.0 \, E6 \, m/s \)