Un planeta tiene una masa de 5E24 kg y un radio de 4000 km, se tiene un satélite de masa 1002.61 kg que gira a una altura H en km sobre superficie del planeta. Determine a. La altura de la órbita en km si tiene un período de 4000 segundos por vuelta b. La

Para resolver este problema, necesitamos utilizar las leyes del movimiento orbital y la ley de gravitación universal. ### a. Determinación de la altura H. El periodo \( T \) de un satélite en órbita se relaciona con el radio \( r \) de su órbita mediante la fórmula: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \] donde: - \( T \) es el período (en segundos), - \( r \) es el radio de la órbita (es decir, la suma del radio del planeta y la altura del satélite), - \( G \) es la constante de gravitación universal (\( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg} \, \text{s}^2 \)), - \( M \) es la masa del planeta (\( 5 \times 10^{24} \, \text{kg} \)). Primero convertimos el radio del planeta de kilómetros a metros: \[ R_p = 4000 \, \text{km} = 4000 \times 1000 \, \text{m} = 4 \times 10^6 \, \text{m} \] La relación del radio de la órbita es: \[ r = R_p + H \] donde \( H \) es la altura sobre la superficie del planeta. Reemplazamos \( r \) en la fórmula del período: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_p + H)^3}{GM}} \] Despejamos \( (R_p + H)^3 \): \[ T^2 = 4\pi^2 \frac{(R_p + H)^3}{GM} \Rightarrow (R_p + H)^3 = \frac{T^2 GM}{4\pi^2} \] Sustituyendo \( G \), \( M \), y \( T \): \[ T = 4000 \, \text{s} \] \[ T^2 = (4000)^2 = 16000000 \, \text{s}^2 \] \[ (R_p + H)^3 = \frac{16000000 \times \left(6.674 \times 10^{-11}\right) \times (5 \times 10^{24})}{4\pi^2} \] Calculamos: \[ (R_p + H)^3 = \frac{16000000 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{24}}{39.4784} \] Vamos a calcular: 1. \( 16000000 \times 6.674 \times 10^{-11} = 1.06784 \times 10^{-3} \) 2. \( 1.06784 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{24} = 5.3392 \times 10^{21} \) 3. Ahora, dividir entre \( 39.4784 \): \[ (R_p + H)^3 \approx \frac{5.3392 \times 10^{21}}{39.4784} \approx 1.35235 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \] Por último, tomamos la raíz cúbica: \[ R_p + H \approx (1.35235 \times 10^{20})^{1/3} \approx 5.227 \times 10^{6} \, \text{m} \] Finalmente, calculamos \( H \): \[ H = (R_p + H) - R_p = 5.227 \times 10^{6} \, \text{m} - 4 \times 10^{6} \, \text{m} \approx 1.227 \times 10^{6} \, \text{m} \] Convertimos a kilómetros: \[ H \approx 1227 \, \text{km} \] ### b. Magnitud del campo gravitacional a esa altura. El campo gravitacional \( g \) a una distancia \( r \) de un cuerpo es dado por: \[ g = \frac{GM}{r^2} \] Ahora, \( r = R_p + H \), que ya calculamos como \( 5.227 \times 10^{6} \) m, usando los mismos valores de \( G \) y \( M \): \[ g = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5 \times 10^{24})}{(5.227 \times 10^{6})^2} \] Calculamos el denominador: \[ (5.227 \times 10^{6})^2 \approx 2.74047 \times 10^{13} \, \text{m}^2 \] Sustituimos en la fórmula del campo gravitacional: \[ g \approx \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5 \times 10^{24})}{2.74047 \times 10^{13}} \approx \frac{3.337 \times 10^{14}}{2.74047 \times 10^{13}} \approx 12.19 \, \text{m/s}^2 \] ### Respuesta final a. La altura de la órbita \( H \approx 1227 \, \text{km} \) b. La magnitud del campo gravitacional a esa altura de órbita \( g \approx 12.19 \, \text{m/s}^2 \)