Suponga que se quiere calentar 2.1 kg/s de alcohol etílico (Cp=2670 J/kg. °C) de 25°C a 70°C por medio de una corriente de agua (Cp=4190 J/kg.°C) que se enfría de 95°C a 45°C. Para este proceso se utilizará un intercambiador de calor de coraza y tubos 2-
Para calcular el área de transferencia de calor necesaria en el intercambiador de calor, primero hay que determinar la potencia térmica requerida (Q) para calentar el alcohol etílico y la temperatura de entrada y salida del agua.
### Paso 1: Calcular la potencia térmica (Q)
Para el alcohol etílico:
\[
Q = \dot{m} \cdot C_p \cdot \Delta T
\]
Donde:
- \(\dot{m}\) = 2.1 kg/s (flujo másico del alcohol etílico).
- \(C_p\) = 2670 J/kg·°C (capacidad calorífica del alcohol etílico).
- \(\Delta T\) = \(T_{final} - T_{inicial} = 70°C - 25°C = 45°C\).
Sustituyendo:
\[
Q = 2.1 \cdot 2670 \cdot 45
\]
\[
Q = 2.1 \cdot 2670 \cdot 45 = 252,135 \, \text{W}
\]
### Paso 2: Encontrar la temperatura de salida del agua
La potencia que el agua pierde es igual a la potencia que el alcohol gana:
\[
Q = \dot{m}_w \cdot C_{p_w} \cdot (T_{inicial_w} - T_{final_w})
\]
Donde:
- \(\dot{m}_w\) es el flujo másico del agua (desconocido en este momento).
- \(C_{p_w}\) = 4190 J/kg·°C (capacidad calorífica del agua).
- \(T_{inicial_w} = 95°C\) y \(T_{final_w} = 45°C\), por lo tanto, \(\Delta T_w = 95°C - 45°C = 50°C\).
A partir de la ecuación de conservación de energía:
\[
252,135 \, \text{W} = \dot{m}_w \cdot 4190 \cdot 50
\]
Despejando \(\dot{m}_w\):
\[
\dot{m}_w = \frac{252,135}{4190 \cdot 50}
\]
\[
\dot{m}_w = \frac{252,135}{209500} \approx 1.203 \, \text{kg/s}
\]
### Paso 3: Calcular el área de transferencia de calor (A)
Utilizamos la siguiente fórmula que involucra el coeficiente global de transferencia de calor (U) y el logaritmo de las diferencias de temperatura:
\[
Q = U \cdot A \cdot \Delta T_{lm}
\]
Donde \(\Delta T_{lm}\) es la diferencia de temperatura logarítmica, que se define como:
\[
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
\]
Aquí, podemos definir:
- \(\Delta T_1 = T_{inicial_w} - T_{final_e} = 95° - 70° = 25°\)
- \(\Delta T_2 = T_{final_w} - T_{inicial_e} = 45° - 25° = 20°\)
Calculamos \(\Delta T_{lm}\):
\[
\Delta T_{lm} = \frac{25 - 20}{\ln\left(\frac{25}{20}\right)}
\]
\[
\Delta T_{lm} = \frac{5}{\ln(1.25)} \approx \frac{5}{0.2231} \approx 22.43°C
\]
### Paso 4: Despejar A
\[
A = \frac{Q}{U \cdot \Delta T_{lm}}
\]
Sustituyendo:
- \(Q = 252,135 \, \text{W}\)
- \(U = 900 \, \text{W/m²·K}\)
- \(\Delta T_{lm} = 22.43 \, \text{K}\)
\[
A = \frac{252,135}{900 \cdot 22.43}
\]
\[
A = \frac{252,135}{20,187} \approx 12.48 \, m^2
\]
### Respuesta
Por lo tanto, el área de transferencia de calor necesaria es aproximadamente \(12.48 \, m^2\).
Update (2024-11-17):
Para calcular el área de transferencia de calor para el intercambiador, se pueden seguir los siguientes pasos:
### 1. Calcular la cantidad de calor (Q) necesaria para calentar el alcohol:
La ecuación para calcular la cantidad de calor es:
\[
Q = \dot{m} \cdot C_p \cdot \Delta T
\]
donde:
\(\dot{m}\) = caudal de alcohol etílico = 2.1 kg/s
\(C_p\) = capacidad calorífica del alcohol etílico = 2670 J/kg·°C
\(\Delta T\) = cambio de temperatura del alcohol etílico = \(T_f - T_i = 70°C - 25°C = 45°C\)
Sustituyendo los valores:
\[
Q = 2.1 \, \text{kg/s} \cdot 2670 \, \text{J/kg·°C} \cdot 45 \, \text{°C}
\]
\[
Q = 2.1 \cdot 2670 \cdot 45
\]
Calculando:
\[
Q = 2.1 \cdot 2670 \cdot 45 \approx 253,365 \, \text{W} \quad \text{(o J/s)}
\]
### 2. Calcular la temperatura de entrada y salida del agua:
La temperatura de entrada del agua es 95°C, y la temperatura de salida se puede calcular considerando el calor que pierde el agua. Primero, vamos a determinar la temperatura de salida del agua:
El calor perdido por el agua debe ser igual al calor ganado por el alcohol (supondremos que no hay pérdidas al ambiente):
\[
Q = \dot{m}_w \cdot C_{p,w} \cdot (T_{in,w} - T_{out,w})
\]
Donde:
- \(\dot{m}_w\) = caudal de agua (aún no lo conocemos)
- \(C_{p,w}\) = capacidad calorífica del agua = 4190 J/kg·°C
- \(T_{in,w} = 95°C\)
- \(T_{out,w}\) = 45°C
Ahora, usaremos la misma \(Q\) que obtuvimos del alcohol para determinar el caudal de agua:
\[
\dot{m}_w = \frac{Q}{C_{p,w} \cdot (T_{in,w} - T_{out,w})}
\]
Sustituyendo nuestros valores:
\[
\dot{m}_w = \frac{253,365 \, \text{W}}{4190 J/kg \cdot °C \cdot (95°C - 45°C)}
\]
\[
\dot{m}_w = \frac{253,365}{4190 \cdot 50}
\]
\[
\dot{m}_w = \frac{253,365}{209,500} \approx 1.21 \, \text{kg/s}
\]
### 3. Area de transferencia de calor (A)
Usamos la ecuación de la transferencia de calor:
\[
Q = U \cdot A \cdot \Delta T_{lm}
\]
Donde:
- \(U\) es el coeficiente global de transferencia de calor = 900 W/m²·K
- \(A\) es el área que queremos encontrar
- \(\Delta T_{lm}\) es la diferencia de temperatura logarítmica media
#### 3.1 Calcular \(\Delta T_{lm}\)
\[
\Delta T_1 = T_{in,w} - T_{out,alc} = 95°C - 70°C = 25°C
\]
\[
\Delta T_2 = T_{out,w} - T_{in,alc} = 45°C - 25°C = 20°C
\]
Ahora calculamos \(\Delta T_{lm}\):
\[
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} = \frac{25°C - 20°C}{\ln\left(\frac{25}{20}\right)} \approx \frac{5}{0.2231} \approx 22.4°C
\]
#### 3.2 Despejamos \(A\)
Despejamos la ecuación de \(A\):
\[
A = \frac{Q}{U \cdot \Delta T_{lm}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
A = \frac{253,365 \, W}{900 \, W/m²·K \cdot 22.4 K}
\]
\[
A = \frac{253,365}{20,160} \approx 12.55 \, m²
\]
Por lo tanto, el área de transferencia de calor appróxima es:
\[
\boxed{12.5 \, m²}
\]