sea f(x)=3(x+1)(x-1/2)(x-1)=0. use el método de bisección para encontrar P3 a) intervalo [-2, 1.5] b) intervalo [-1.25, 2.5]

Para utilizar el método de bisección en la función \( f(x) = 3(x+1)(x - \frac{1}{2})(x - 1) \), primero necesitamos asegurarnos de que la función tenga raíces en los intervalos proporcionados mediante el teorema de Bolzano, es decir, donde \( f(a) \) y \( f(b) \) tengan signos opuestos. Primero, evaluamos la función en los extremos de los intervalos. ### a) Intervalo \([-2, 1.5]\) 1. Evaluamos \( f(-2) \): \[ f(-2) = 3(-2 + 1)(-2 - \frac{1}{2})(-2 - 1) = 3(-1)(-2.5)(-3) = 7.5 > 0 \] 2. Evaluamos \( f(1.5) \): \[ f(1.5) = 3(1.5 + 1)(1.5 - \frac{1}{2})(1.5 - 1) = 3(2.5)(1)(0.5) = 3.75 > 0 \] Dado que \( f(-2) > 0 \) y \( f(1.5) > 0 \), parece que no hay una raíz en este intervalo. Sin embargo, para fines de ilustración, podemos seguir biseccionando. ### b) Intervalo \([-1.25, 2.5]\) 1. Evaluamos \( f(-1.25) \): \[ f(-1.25) = 3(-1.25 + 1)(-1.25 - \frac{1}{2})(-1.25 - 1) = 3(-0.25)(-1.75)(-2.25) \approx 2.359375 < 0 \] 2. Evaluamos \( f(2.5) \): \[ f(2.5) = 3(2.5 + 1)(2.5 - \frac{1}{2})(2.5 - 1) = 3(3.5)(2)(1.5) = 31.5 > 0 \] Ya que \( f(-1.25) < 0 \) y \( f(2.5) > 0 \), hay una raíz en el intervalo \([-1.25, 2.5]\). Ahora podemos aplicar el método de bisección para encontrar \( P_3 \) (la estimación de la raíz después de 3 iteraciones). 1. **Primer paso**: \[ a = -1.25, \quad b = 2.5 \] \[ m_1 = \frac{-1.25 + 2.5}{2} = \frac{1.25}{2} = 0.625 \] \[ f(0.625) = 3(0.625 + 1)(0.625 - \frac{1}{2})(0.625 - 1) = 3(1.625)(0.125)(-0.375) \approx -0.078125 < 0 \] Como \( f(-1.25) < 0 \) y \( f(0.625) < 0 \), el nuevo intervalo será \([-1.25, 0.625]\). 2. **Segundo paso**: \[ a = -1.25, \quad b = 0.625 \] \[ m_2 = \frac{-1.25 + 0.625}{2} = \frac{-0.625}{2} = -0.3125 \] \[ f(-0.3125) = 3(-0.3125 + 1)(-0.3125 - \frac{1}{2})(-0.3125 - 1) = 3(0.6875)(-0.8125)(-1.3125) \approx 0.537 < 0 \] Entonces, el nuevo intervalo es \([-1.25, -0.3125]\). 3. **Tercer paso**: \[ a = -1.25, \quad b = -0.3125 \] \[ m_3 = \frac{-1.25 - 0.3125}{2} = \frac{-1.5625}{2} = -0.78125 \] \[ f(-0.78125) = 3(-0.78125 + 1)(-0.78125 - \frac{1}{2})(-0.78125 - 1) \approx 0.08268 > 0 \] Al final de tres iteraciones, \( P_3 \approx -0.78125 \). ### Resumen: a) No hay raíz en \([-2, 1.5]\). b) La estimación después de 3 iteraciones en \([-1.25, 2.5]\) es \( P_3 \approx -0.78125 \).