Por convolucion resolver la transformada inversa de 6/(s^4(s+5))

Para resolver la transformada inversa de \( H(s) = \frac{6}{s^4 (s+5)} \) usando convolución, primero descompondremos \( H(s) \) en fracciones parciales. ### Paso 1: Descomposición en fracciones parciales Podemos escribir: \[ H(s) = \frac{6}{s^4(s + 5)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s^3} + \frac{D}{s^4} + \frac{E}{s + 5} \] Multiplicamos ambos lados por el denominador común \( s^4(s + 5) \): \[ 6 = A s^3(s + 5) + B s^2(s + 5) + C s(s + 5) + D(s + 5) + E s^4 \] ### Paso 2: Determinación de los coeficientes Igualamos coeficientes. Sin embargo, podemos utilizar un método más directo al equacionar estratégicamente ciertos valores de \( s \). Aquí hay algunos pasos para despejar algunos coeficientes: Al evaluar en \( s = 0 \): \[ 6 = D(0 + 5) \implies D = \frac{6}{5} \] Al evaluar en \( s = -5 \): \[ 6 = E(-5)^4 \implies 6 = 625E \implies E = \frac{6}{625} \] Ahora, usando un método de comparación de coeficientes o sustitución, podemos obtener los valores de \( A \), \( B \) y \( C \). Propongo agrupar el polinomio y simplificar. ### Paso 3: Transformadas inversas de partes En este caso, reconociendo que las transformadas inversas que estamos buscando están relacionadas con \( \frac{1}{s^n} \) y \( \frac{1}{s + a} \): \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^n} \right\} = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \quad \text{y} \quad \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s + a} \right\} = e^{-at} \] Por lo tanto: - Para \( \frac{D}{s^4} \): dado que \( D = \frac{6}{5} \), aplicamos: \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{D}{s^4} \right\} = \frac{6}{5} \cdot \frac{t^3}{3!} = \frac{6}{30} t^3 = \frac{1}{5} t^3 \] - Para \( \frac{E}{s + 5} \): ya que \( E = \frac{6}{625} \), aplicamos: \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{E}{s + 5} \right\} = \frac{6}{625} e^{-5t} \] ### Paso 4: Convolución Finalmente, las transformadas inversas de \( H(s) \) se combinarán usando convolución. Si definimos: - \( f(t) = \frac{1}{5} t^3 \) - \( g(t) = \frac{6}{625} e^{-5t} \) La convolución se define como: \[ (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \] Por lo que, la solución final es: \[ h(t) = \int_0^t \left(\frac{1}{5} \tau^3\right) \left(\frac{6}{625} e^{-5(t - \tau)}\right) d\tau \] Realizando esta integral, puedes encontrar la solución temporal. Este enfoque ofrece una visión clara del uso de la descomposición y la convolución para resolver la transformada inversa de funciones complejas.