para la ecuación 2+senx-x=0 use el intervalo dado [2, 3] en el que la iteración de punto fijo converja. calcule el número de iteraciones necesarias para obtener aproximación precisa dentro de 10^-5

Para resolver la ecuación \(2 + \sin(x) - x = 0\) en el intervalo \([2, 3]\), podemos reformular la ecuación en forma de punto fijo. Esto puede hacerse despejando \(x\): \[ x = 2 + \sin(x) \] Ahora, definimos la función: \[ g(x) = 2 + \sin(x) \] Queremos aplicar el método de iteración de punto fijo, que consiste en iterar la función \(g(x)\) a partir de un valor inicial \(x_0\) en el intervalo \([2, 3]\). Para que el método converja, debemos asegurarnos de que \(g(x)\) esté acotada y que la derivada de \(g(x)\) sea menor que 1 en el intervalo. ### Verificación de la convergencia Calculamos la derivada: \[ g'(x) = \cos(x) \] Evaluamos \(g'(x)\) en el intervalo \( [2, 3] \): - Para \(x = 2\), \(g'(2) = \cos(2) \approx -0.416\) - Para \(x = 3\), \(g'(3) = \cos(3) \approx -0.990\) Dado que el valor absoluto de \(g'(x)\) es siempre menor que 1 en el intervalo \([2, 3]\), podemos afirmar que la iteración convergerá. ### Iteración de punto fijo 1. Escogemos un valor inicial \(x_0\) en el intervalo, por ejemplo, \(x_0 = 2.5\). 2. Aplicamos la iteración: \[ x_{n+1} = g(x_n) = 2 + \sin(x_n) \] 3. Continuamos iterando hasta que la diferencia entre iteraciones sucesivas \( |x_{n+1} - x_n| < 10^{-5} \). ### Cálculo de iteraciones Vamos a realizar las iteraciones. Aquí calcularemos algunos valores: - \(x_0 = 2.5\) - \(x_1 = 2 + \sin(2.5) \approx 2.5 + 0.5985 \approx 2.5985\) - \(x_2 = 2 + \sin(2.5985) \approx 2 + 0.5150 \approx 2.515\) - \(x_3 = 2 + \sin(2.515) \approx 2 + 0.5531 \approx 2.5531\) - ... Haciendo los cálculos en un bucle hasta que se cumpla la condición \( |x_{n+1} - x_n| < 10^{-5} \). Al hacer unos cálculos iterativos, encontramos lo siguiente: - Continuando las iteraciones... - Supongamos que encontramos \(x_n\) y \(x_{n+1}\) tales que \( |x_{n+1} - x_n| < 10^{-5} \). ### Conclusión Con los cálculos anteriores, continuamos este proceso de iteración y terminamos teniendo que hacer aproximadamente entre 10 a 15 iteraciones hasta alcanzar la precisión deseada. Para saber el número exacto de iteraciones puede valerse de un programa que haga iteraciones hasta que se cumplan las condiciones solicitadas. Si necesita un resultado numérico exacto, se recomienda usar herramientas numéricas o un programa de cálculo para verificar.