la energía cinética de una esfera sólida que se traslada rotando sin resbalar a lo largo de un plano horizontal con velocidad constante es de 315 J, si la masa de la esfera es de 16 Kg y tiene 0.25 m de radio, encuentre a) la cantidad de la energía total
Para resolver los problemas propuestos, comenzaremos aplicando las fórmulas de la energía cinética y las relaciones necesarias para cada inciso.
### a) Energía cinética rotacional (E_CR)
La energía cinética total (E_C) de una esfera que rota y se traslada es la suma de la energía cinética de traslación (E_CT) y de rotación (E_CR):
\[
E_C = E_CT + E_CR
\]
La energía cinética de traslación se calcula como:
\[
E_CT = \frac{1}{2} m v^2
\]
Donde:
- \(m = 16 \, \text{kg}\) (masa de la esfera),
- \(E_C = 315 \, \text{J}\) (energía cinética total).
Sabemos que la esfera rota sin resbalar, por lo que la relación entre la velocidad translacional (\(v\)) y la velocidad angular (\(\omega\)) es:
\[
v = r \omega
\]
Si sustituimos en la ecuación de \(E_CT\):
\[
E_CT = \frac{1}{2} m (r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2
\]
La energía cinética rotacional para una esfera sólida es:
\[
E_CR = \frac{1}{2} I \omega^2
\]
Donde el momento de inercia \(I\) de una esfera sólida es:
\[
I = \frac{2}{5} m r^2
\]
Así que:
\[
E_CR = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m r^2\right) \omega^2 = \frac{1}{5} m r^2 \omega^2
\]
Ahora, podemos sumar las dos componentes para obtener \(E_C\):
\[
E_C = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m r^2 \omega^2
\]
Sabemos que \(v = r \omega\), por lo que \(v^2 = r^2 \omega^2\). Sustituyamos esto en la ecuación de la energía total:
\[
E_C = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 + \frac{1}{5} m r^2 \omega^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) m r^2 \omega^2
\]
Necesitamos un denominador común para sumar, que es 10:
\[
E_C = \left(\frac{5}{10} + \frac{2}{10}\right) m r^2 \omega^2 = \frac{7}{10} m r^2 \omega^2
\]
Entonces, usando \(E_C = 315 \, J\):
\[
315 = \frac{7}{10} (16) (0.25)^2 \omega^2
\]
Calculamos \(0.25^2 = 0.0625\):
\[
315 = \frac{7}{10} (16)(0.0625) \omega^2
\]
Ahora multiplicamos:
\[
315 = \frac{7}{10} (1) \omega^2 \quad \text{(ya que \(16 \times 0.0625 = 1\))}
\]
Así que:
\[
315 = \frac{7}{10} \omega^2
\]
Resolviendo para \(\omega^2\):
\[
\omega^2 = 315 \cdot \frac{10}{7} = 450
\]
\[
\omega = \sqrt{450} \approx 21.21 \, \text{rad/s}
\]
Ahora calculamos la energía cinética rotacional:
\[
E_CR = \frac{1}{5} m r^2 \omega^2
\]
\[
E_CR = \frac{1}{5}(16)(0.25^2)(450)
\]
\[
= \frac{1}{5}(16)(0.0625)(450)
\]
\[
= \frac{1}{5}(1)(450) = 90 \, \text{J}
\]
**Respuesta**: a) **La energía cinética rotacional de la esfera es 90 J.**
### b) Tiempo para avanzar 20 m
La velocidad translacional de la esfera se puede calcular usando \(v = r \omega\):
\[
v = 0.25 \cdot 21.21 \approx 5.30 \, \text{m/s}
\]
El tiempo para recorrer una distancia de 20 m es:
\[
t = \frac{d}{v} = \frac{20 \, \text{m}}{5.30 \, \text{m/s}} \approx 3.77 \, \text{s}
\]
**Respuesta**: b) **El tiempo para avanzar 20 m es aproximadamente 3.77 s.**
### c) Velocidad angular en el nuevo tramo horizontal
Al subir un plano inclinado de 10 grados y cambiar de altura, se conserva la energía. La energía potencial ganada es:
\[
E_P = mgh = 16 \cdot 9.81 \cdot 1.5 \approx 235.44 \, J
\]
La energía cinética inicial era E_C = 315 J. Al subir, parte de la energía se transforma en energía potencial al cambiar de altura. Por tanto, la nueva energía cinética en el nuevo tramo horizontal es:
\[
E_C' = E_C - E_P = 315 - 235.44 \approx 79.56 \, J
\]
Igualando la energía cinética con la energía cinética de traslación y rotación:
\[
79.56 = \frac{1}{2} m v'^2 + \frac{1}{5} m r^2 \omega'^2
\]
Donde \(v' = r \omega'\). Sustituyendo \(v'\) en la ecuación:
\[
79.56 = \frac{1}{2} (16) (0.25 \omega')^2 + \frac{1}{5} (16) (0.25)^2 \omega'^2
\]
\[
= \frac{1}{2} (16)(0.0625) \omega'^2 + \frac{1}{5} (16)(0.0625) \omega'^2
\]
\[
= (0.5 + 0.2)(16)(0.0625) \omega'^2 = 0.7 \cdot (16)(0.0625) \omega'^2 = 0.7 \cdot 1 \cdot \omega'^2 \approx 0.7 \omega'^2
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
79.56 = 0.7 \omega'^2 \Rightarrow \omega'^2 = \frac{79.56}{0.7} \approx 113.66
\]
\[
\omega' = \sqrt{113.66} \approx 10.67 \, \text{rad/s}
\]
**Respuesta**: c) **La velocidad angular en el nuevo tramo horizontal es aproximadamente 10.67 rad/s.**
Update (2024-09-28):
Para resolver los puntos (a), (b) y (c), utilizaremos los conceptos de energía cinética translacional, energía cinética rotacional y la relación entre las velocidades y las energías.
### a) Energía cinética rotacional
La energía cinética total de la esfera es la suma de la energía cinética translacional y la energía cinética rotacional.
La energía cinética translacional \( K_t \) se calcula con la fórmula:
\[
K_t = \frac{1}{2} M v^2
\]
Donde:
- \( M \) es la masa (16 kg)
- \( v \) es la velocidad lineal de la esfera.
La energía cinética rotacional \( K_r \) se calcula con la fórmula:
\[
K_r = \frac{1}{2} I \omega^2
\]
Donde:
- \( I \) es el momento de inercia de la esfera.
- \( \omega \) es la velocidad angular.
Para una esfera sólida, el momento de inercia \( I \) es:
\[
I = \frac{2}{5} M r^2
\]
Con \( r = 0.25 \, \text{m} \).
Ya que se mueve sin resbalar, la relación entre la velocidad lineal \( v \) y la velocidad angular \( \omega \) es:
\[
v = r \omega \quad \Rightarrow \quad \omega = \frac{v}{r}
\]
La energía cinética total es:
\[
E_t = K_t + K_r = K_t + \frac{1}{2} I \omega^2
\]
Dado que \( E_t = 315 \, J \) y \( K_t = K_r \) en este caso, podemos encontrar la energía cinética rotacional. Suponiendo que una parte es rotacional y la otra es translacional, podemos decir que:
\[
K_r = K_t
\]
Por lo tanto,
\[
K_r + K_r = 315 \quad \Rightarrow \quad 2K_r = 315 \quad \Rightarrow \quad K_r = \frac{315}{2} = 157.5 \, J
\]
### b) Tiempo para avanzar 20 m
Si se mueve con velocidad constante \( v \), podemos calcular el tiempo \( t \) usando la fórmula:
\[
t = \frac{d}{v}
\]
Primero se necesitará calcular la velocidad \( v \). Usamos la energía cinética translacional para encontrarla:
\[
K_t = \frac{1}{2} M v^2
\]
Sustituyendo:
\[
K_t = 157.5 \quad \Rightarrow \quad 157.5 = \frac{1}{2} \times 16 \times v^2
\]
\[
315 = 16 v^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = \frac{315}{16} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{315}{16}} \approx 4.42 \, \text{m/s}
\]
Ahora calculamos el tiempo:
\[
t = \frac{20}{4.42} \approx 4.52 \, \text{s}
\]
### c) Velocidad angular en el nuevo tramo horizontal
Cuando la esfera sube una inclinación, podemos usar la conservación de energía para determinar su velocidad en el nuevo tramo horizontal.
La energía potencial ganada se calcula como:
\[
U = mgh = 16 \times 9.81 \times 1.5
\]
Calculando:
\[
U = 16 \times 9.81 \times 1.5 \approx 235.44 \, J
\]
La energía total (conservada) se convierte entre cinética rotacional y translacional:
\[
T = E_t - U
\]
Donde \[
E_t = 315 \, J \quad \Rightarrow \quad T = 315 - 235.44 \approx 79.56 \, J
\]
Para encontrar la nueva energía cinética translacional en el plano horizontal:
\[
K_t = \frac{1}{2} M v^2
\]
Asumiendo que ahora la energía cinética total es aproximadamente solo translacional, se puede calcular la nueva velocidad:
\[
K_t \approx 79.56 \quad \Rightarrow \quad 79.56 = \frac{1}{2} \times 16 \times v^2
\]
\[
159.12 = 16 v^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = \frac{159.12}{16} \quad \Rightarrow \quad v \approx 3.14 \, \text{m/s}
\]
Finalmente, podemos encontrar la nueva velocidad angular \( \omega' \):
\[
\omega' = \frac{v}{r} \quad \Rightarrow \quad \omega' = \frac{3.14}{0.25} \approx 12.56 \, \text{rad/s}
\]
### Resumen:
a) \( K_r \approx 157.5 \, J \)
b) \( t \approx 4.52 \, s \)
c) \( \omega' \approx 12.56 \, \text{rad/s} \)