la energía cinética de una esfera sólida que se traslada rotando sin resbalar a lo largo de un plano horizontal con velocidad constante es de 315 J, si la masa de la esfera es de 16 Kg y tiene 0.25 m de radio, encuentre a) la cantidad de la energía total
Para resolver los problemas propuestos, comenzaremos aplicando las fórmulas de la energía cinética y las relaciones necesarias para cada inciso.
### a) Energía cinética rotacional (E_CR)
La energía cinética total (E_C) de una esfera que rota y se traslada es la suma de la energía cinética de traslación (E_CT) y de rotación (E_CR):
\[
E_C = E_CT + E_CR
\]
La energía cinética de traslación se calcula como:
\[
E_CT = \frac{1}{2} m v^2
\]
Donde:
- \(m = 16 \, \text{kg}\) (masa de la esfera),
- \(E_C = 315 \, \text{J}\) (energía cinética total).
Sabemos que la esfera rota sin resbalar, por lo que la relación entre la velocidad translacional (\(v\)) y la velocidad angular (\(\omega\)) es:
\[
v = r \omega
\]
Si sustituimos en la ecuación de \(E_CT\):
\[
E_CT = \frac{1}{2} m (r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2
\]
La energía cinética rotacional para una esfera sólida es:
\[
E_CR = \frac{1}{2} I \omega^2
\]
Donde el momento de inercia \(I\) de una esfera sólida es:
\[
I = \frac{2}{5} m r^2
\]
Así que:
\[
E_CR = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m r^2\right) \omega^2 = \frac{1}{5} m r^2 \omega^2
\]
Ahora, podemos sumar las dos componentes para obtener \(E_C\):
\[
E_C = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m r^2 \omega^2
\]
Sabemos que \(v = r \omega\), por lo que \(v^2 = r^2 \omega^2\). Sustituyamos esto en la ecuación de la energía total:
\[
E_C = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 + \frac{1}{5} m r^2 \omega^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) m r^2 \omega^2
\]
Necesitamos un denominador común para sumar, que es 10:
\[
E_C = \left(\frac{5}{10} + \frac{2}{10}\right) m r^2 \omega^2 = \frac{7}{10} m r^2 \omega^2
\]
Entonces, usando \(E_C = 315 \, J\):
\[
315 = \frac{7}{10} (16) (0.25)^2 \omega^2
\]
Calculamos \(0.25^2 = 0.0625\):
\[
315 = \frac{7}{10} (16)(0.0625) \omega^2
\]
Ahora multiplicamos:
\[
315 = \frac{7}{10} (1) \omega^2 \quad \text{(ya que \(16 \times 0.0625 = 1\))}
\]
Así que:
\[
315 = \frac{7}{10} \omega^2
\]
Resolviendo para \(\omega^2\):
\[
\omega^2 = 315 \cdot \frac{10}{7} = 450
\]
\[
\omega = \sqrt{450} \approx 21.21 \, \text{rad/s}
\]
Ahora calculamos la energía cinética rotacional:
\[
E_CR = \frac{1}{5} m r^2 \omega^2
\]
\[
E_CR = \frac{1}{5}(16)(0.25^2)(450)
\]
\[
= \frac{1}{5}(16)(0.0625)(450)
\]
\[
= \frac{1}{5}(1)(450) = 90 \, \text{J}
\]
**Respuesta**: a) **La energía cinética rotacional de la esfera es 90 J.**
### b) Tiempo para avanzar 20 m
La velocidad translacional de la esfera se puede calcular usando \(v = r \omega\):
\[
v = 0.25 \cdot 21.21 \approx 5.30 \, \text{m/s}
\]
El tiempo para recorrer una distancia de 20 m es:
\[
t = \frac{d}{v} = \frac{20 \, \text{m}}{5.30 \, \text{m/s}} \approx 3.77 \, \text{s}
\]
**Respuesta**: b) **El tiempo para avanzar 20 m es aproximadamente 3.77 s.**
### c) Velocidad angular en el nuevo tramo horizontal
Al subir un plano inclinado de 10 grados y cambiar de altura, se conserva la energía. La energía potencial ganada es:
\[
E_P = mgh = 16 \cdot 9.81 \cdot 1.5 \approx 235.44 \, J
\]
La energía cinética inicial era E_C = 315 J. Al subir, parte de la energía se transforma en energía potencial al cambiar de altura. Por tanto, la nueva energía cinética en el nuevo tramo horizontal es:
\[
E_C' = E_C - E_P = 315 - 235.44 \approx 79.56 \, J
\]
Igualando la energía cinética con la energía cinética de traslación y rotación:
\[
79.56 = \frac{1}{2} m v'^2 + \frac{1}{5} m r^2 \omega'^2
\]
Donde \(v' = r \omega'\). Sustituyendo \(v'\) en la ecuación:
\[
79.56 = \frac{1}{2} (16) (0.25 \omega')^2 + \frac{1}{5} (16) (0.25)^2 \omega'^2
\]
\[
= \frac{1}{2} (16)(0.0625) \omega'^2 + \frac{1}{5} (16)(0.0625) \omega'^2
\]
\[
= (0.5 + 0.2)(16)(0.0625) \omega'^2 = 0.7 \cdot (16)(0.0625) \omega'^2 = 0.7 \cdot 1 \cdot \omega'^2 \approx 0.7 \omega'^2
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
79.56 = 0.7 \omega'^2 \Rightarrow \omega'^2 = \frac{79.56}{0.7} \approx 113.66
\]
\[
\omega' = \sqrt{113.66} \approx 10.67 \, \text{rad/s}
\]
**Respuesta**: c) **La velocidad angular en el nuevo tramo horizontal es aproximadamente 10.67 rad/s.**