un planeta tiene una masa se 6E24 kg y un radio de 5000 km, se tiene un satelite de masa de 2996.7 kg que gira a una altura de 1000 km sobre la superficie del planeta. el satelite tiene una energia mecanica de -1E11 J. determine la velocidad tangencial en

Para resolver el problema, vamos a utilizar las fórmulas para la energía potencial gravitacional y la energía mecánica en el contexto de la gravitación. ### 1. Datos: - Masa del planeta (\(M\)) = \(6 \times 10^{24}\) kg - Radio del planeta (\(R\)) = 5000 km = \(5 \times 10^6\) m - Altura del satélite (\(h\)) = 1000 km = \(1 \times 10^6\) m - Masa del satélite (\(m\)) = 2996.7 kg - Energía mecánica total (\(E_m\)) = \(-1 \times 10^{11}\) J ### 2. Distancia desde el centro del planeta hasta el satélite: La distancia total desde el centro del planeta hasta el satélite (\(r\)) es igual al radio del planeta más la altura del satélite: \[ r = R + h = 5 \times 10^6 \, \text{m} + 1 \times 10^6 \, \text{m} = 6 \times 10^6 \, \text{m} \] ### 3. Energía potencial gravitacional (\(U\)): La energía potencial gravitacional se calcula con la fórmula: \[ U = -\frac{G M m}{r} \] donde \(G\) (constante gravitacional) es aproximadamente \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\). Sustituyendo los valores: \[ U = -\frac{(6.674 \times 10^{-11}) (6 \times 10^{24}) (2996.7)}{6 \times 10^{6}} \] Calculamos \(U\): \[ U = -\frac{(6.674 \times 10^{-11}) (6 \times 10^{24}) (2996.7)}{6 \times 10^{6}} \approx -\frac{(6.674 \times 10^{-11}) (1.79802 \times 10^{28})}{6 \times 10^{6}} \] Realizando el cálculo: \[ U \approx -\frac{1.202141318 \times 10^{18}}{6 \times 10^{6}} \approx -2.0036 \times 10^{11} \, \text{J} \] ### 4. Velocidad tangencial (\(v\)): La energía mecánica total (\(E_m\)) se relaciona con la energía potencial (\(U\)) y la energía cinética (\(K\)): \[ E_m = K + U \] La energía cinética es: \[ K = \frac{1}{2} mv^2 \] Así que: \[ E_m = \frac{1}{2} mv^2 + U \] Reorganizando: \[ v^2 = \frac{2(E_m - U)}{m} \] Sustituyendo los valores: \[ v^2 = \frac{2(-1 \times 10^{11} - (-2.0036 \times 10^{11}))}{2996.7} \] \[ v^2 = \frac{2(1.0036 \times 10^{11})}{2996.7} --> v^2 = \frac{2.0072 \times 10^{11}}{2996.7} \approx 6.6992 \times 10^{7} \] Finalmente, calculamos \(v\): \[ v \approx \sqrt{6.6992 \times 10^{7}} \approx 8164 \, \text{m/s} \] ### Summary of Results - **Velocidad tangencial del satélite:** aproximadamente \(8164 \, \text{m/s}\) - **Energía potencial gravitacional del satélite:** aproximadamente \(-2.0036 \times 10^{11} \, \text{J}\)