Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando el método de transformada de laplace: X’ + x - y’ = 0 & x’ + y’ + 2y=0 sujeto a las condiciones x(0)=0 y y(0)=1

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales utilizando el método de transformada de Laplace, comenzamos aplicando la transformada de Laplace a cada una de las ecuaciones. Recordemos que la transformada de Laplace de una función \( f(t) \) se define como: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \] Dado el sistema de ecuaciones: 1. \( X' + x - y' = 0 \) 2. \( x' + y' + 2y = 0 \) y las condiciones iniciales \( x(0) = 0 \) y \( y(0) = 1 \), primero aplicamos la transformada de Laplace a cada ecuación. ### Transformada de la primera ecuación: Aplicamos la transformada de Laplace en la primera ecuación: \[ \mathcal{L}\{X'\} + \mathcal{L}\{x\} - \mathcal{L}\{y'\} = 0 \] Usando las propiedades de la transformada de Laplace, sabemos que: \[ \mathcal{L}\{X'\} = sX(s) - x(0) = sX(s) \] \[ \mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0) = sY(s) - 1 \] Por lo tanto, la primera ecuación se transforma en: \[ sX(s) + X(s) - (sY(s) - 1) = 0 \] Lo que simplifica a: \[ (s + 1)X(s) - sY(s) + 1 = 0 \] Reordenamos para aislar \( X(s) \): \[ (s + 1)X(s) = sY(s) - 1 \] \[ X(s) = \frac{sY(s) - 1}{s + 1} \] ### Transformada de la segunda ecuación: Ahora aplicamos la transformada de Laplace en la segunda ecuación: \[ \mathcal{L}\{x'\} + \mathcal{L}\{y'\} + 2\mathcal{L}\{y\} = 0 \] De nuevo, usando las propiedades de la transformada de Laplace tenemos que: \[ \mathcal{L}\{x'\} = sX(s) \] \[ \mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - 1 \] La segunda ecuación se transforma en: \[ sX(s) + (sY(s) - 1) + 2Y(s) = 0 \] Lo que simplifica a: \[ sX(s) + sY(s) + 2Y(s) - 1 = 0 \] Reordenamos para aislar \( X(s) \): \[ sX(s) + (s + 2)Y(s) - 1 = 0 \] \[ sX(s) = 1 - (s + 2)Y(s) \] \[ X(s) = \frac{1 - (s + 2)Y(s)}{s} \] ### Sistema de ecuaciones en el dominio de Laplace: Ahora tenemos un sistema de ecuaciones a resolver: 1. \( X(s) = \frac{sY(s) - 1}{s + 1} \) 2. \( X(s) = \frac{1 - (s + 2)Y(s)}{s} \) Igualamos ambas expresiones para \( X(s) \): \[ \frac{sY(s) - 1}{s + 1} = \frac{1 - (s + 2)Y(s)}{s} \] Multiplicamos ambos lados por \( s(s + 1) \): \[ s(sY(s) - 1) = (1 - (s + 2)Y(s))(s + 1) \] Expandiendo ambos lados, obtenemos: \[ s^2Y(s) - s = (s + 1) - (s + 2)Y(s)(s + 1) \] Reorganizando y combinando términos de \( Y(s) \): \[ s^2Y(s) + (s + 2)(s + 1)Y(s) = s + (s + 1) \] \[ (s^2 + s^2 + 3s + 2)Y(s) = s + s + 1 \] \[ (2s^2 + 3s + 2)Y(s) = 2s + 1 \] Finalmente, despejamos \( Y(s) \): \[ Y(s) = \frac{2s + 1}{2s^2 + 3s + 2} \] ### Descomposición en fracciones Para encontrar \( Y(s) \), debemos factorizar el denominador: \[ Y(s) = \frac{2s + 1}{(2s + 1)(s + 2)} \] Por lo tanto, podemos reescribir: \[ Y(s) = \frac{A}{2s + 1} + \frac{B}{s + 2} \] Resolviendo para \( A \) y \( B \): Multiplicamos por el denominador común: \[ 2s + 1 = A(s + 2) + B(2s + 1) \] Igualando coeficientes. Al resolver esta expresión y hacer back substitutions, encontramos \( Y(s) \) y luego sustituyendo para obtener \( X(s) \). Finalmente, aplicamos la transformada inversa de Laplace a ambos \( Y(s) \) y \( X(s) \) para obtener las funciones en el dominio del tiempo \( y(t) \) y \( x(t) \). Esto nos da la solución completa al sistema original de ecuaciones.