100 kg de un gas se someten a un proceso isocórico reversible. El comportamiento del gas puede ser modelizado utilizando la ecuación de Redlich-Kwong. La temperatura crítica de la sustancia es de 658 K, su presión crítica de 210.6 bar y el peso molecular

Para resolver este problema, necesitamos variar ciertas propiedades del gas utilizando la ecuación de estado de Redlich-Kwong y las ecuaciones empiricas de cp, cv y \(\mu_{JT}\) que hemos dado. Vamos a proceder paso a paso. ### Datos Iniciales - Masa del gas, \( m = 100 \, \text{kg} \) - Peso molecular, \( M = 26.5 \, \text{kg/kmol} \) - Volumen molar inicial, \( V_m = 40 \, \text{dm}^3/\text{mol} = 0.04 \, \text{m}^3/\text{mol} \) - Temperatura inicial, \( T_1 = 100 \, °C = 373.15 \, K \) - Temperatura final, \( T_2 = 175 \, °C = 448.15 \, K \) - Temperatura crítica, \( T_c = 658 \, K \) - Presión crítica, \( P_c = 210.6 \, \text{bar} = 21060 \, \text{kPa} \) ### 1. Número de moles del gas Primero, calculamos los moles del gas: \[ n = \frac{m}{M} = \frac{100 \, \text{kg}}{26.5 \, \text{kg/kmol}} = 3.77 \, \text{kmol} \approx 3770 \, \text{mol} \] ### 2. Proceso Isocórico Un proceso isocórico significa que el volumen es constante. Por lo tanto, el trabajo realizado por el sistema (W) es cero: \[ W = 0 \] ### 3. Cálculo del Calor (Q) En un proceso isocórico, el cambio de calor se puede calcular utilizando la capacidad calorífica a presión constante \( C_v \): \[ Q = n \cdot C_v \cdot (T_2 - T_1) \] Necesitamos calcular \( C_v \): ### 4. Cálculo de \( C_v \) en \( T_1 \) Utilizando la ecuación dada para \( C_v \): \[ C_v = 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot T^3 - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot T^2 + 0.053 \cdot T + 3.012 \] Sustituyendo \( T_1 = 373.15 \, K \): \[ C_v = 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot (373.15)^3 - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot (373.15)^2 + 0.053 \cdot (373.15) + 3.012 \] Realizando las operaciones: \[ C_v \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot 5.191 \times 10^{10} - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot 139.37 + 0.053 \cdot 373.15 + 3.012 \] \[ C_v \approx 1.454 - 0.1045 + 19.7495 + 3.012 \approx 24.1105 \, kJ/(kmol \cdot K) \approx 0.0241 \, kJ/(mol \cdot K) \] Ahora calculamos Q: \[ Q = 3770 \cdot 0.0241 \cdot (448.15 - 373.15) \] \[ Q \approx 3770 \cdot 0.0241 \cdot 75 \approx 6776.32 \, kJ \] ### 5. Cambio de entalpía (\(\Delta H\)) El cambio de entalpía en un proceso isocórico es: \[ \Delta H = n \cdot C_p \cdot (T_2 - T_1) \] Necesitamos calcular \( C_p \): ### 6. Cálculo de \( C_p \) en \( T_1 \) Usando la fórmula para \( C_p \): \[ C_p = 1.9 \cdot 10^{-10} \cdot T^3 - 4.16 \cdot 10^{-6} \cdot T^2 + 0.038 \cdot T + 1.65 \] Sustituyendo \( T_1 = 373.15 \, K \): \[ C_p = 1.9 \cdot 10^{-10} \cdot (373.15)^3 - 4.16 \cdot 10^{-6} \cdot (373.15)^2 + 0.038 \cdot (373.15) + 1.65 \] ### 7. Cálculo de \(\Delta H\) Una vez que tenemos \( C_p \), la entalpía se calcula de manera similar a la del calor \( Q \): \[ \Delta H \approx n \cdot C_p \cdot (T_2 - T_1) \] ### 8. Resumen de Resultados - **Trabajo realizado (W)**: \( 0 \, kJ \) (debido al proceso isocórico) - **Calor (Q)**: \( 6776.32 \, kJ \) (signo positivo, energía suministrada al sistema) - **Cambio de entalpía (\(\Delta H\))**: Utilizando \( C_p \), calcula como se hizo con \( Q \). ### Signos de los Resultados - El trabajo es cero porque no hay cambio de volumen. - La cantidad de calor es positiva porque el sistema recibe calor al aumentar su temperatura. - El cambio de entalpía también será positivo, ya que hay un aumento de temperatura. Esto indica que el sistema está ganando energía. ### Notas Finales Para los cálculos de \( C_p \) y \(\Delta H\), puedes realizar los mismos pasos que para \( C_v\) y \( Q\), sustituyendo el valor de \( T_1\) en la respectiva fórmula para \( C_p\). Luego, usa el valor para calcular el cambio de entalpía \(\Delta H\). Update (2024-09-30): Para resolver el problema, comenzaremos exponiendo algunos conceptos y ecuaciones básicos que son necesarios para calcular el trabajo, el calor y el cambio de entalpía en un proceso isocórico reversible. Luego aplicaremos la ecuación de Redlich-Kwong y las ecuaciones dadas para \( c_p \) y \( c_v \). ### (a) Trabajo en un Proceso Isocórico El trabajo realizado en un proceso isocórico (a volumen constante) es cero, ya que no hay cambio de volumen: \[ W = 0 \] Esto significa que en un sistema isocórico, todo el calor que entra en el sistema se utiliza para cambiar la energía interna (o la entalpía) del sistema. ### (b) Calor en un Proceso Isocórico El calor transferido en un proceso isocórico se puede calcular utilizando la capacidad calorífica a volumen constante (\( c_v \)): \[ Q = n \cdot c_v \cdot \Delta T \] Donde \( n \) es el número de moles, \( c_v \) es la capacidad calorífica a volumen constante y \( \Delta T = T_f - T_i \) es el cambio de temperatura. Primero, calcularemos el número de moles de gas: \[ n = \frac{m}{M} = \frac{100 \, \text{kg}}{26.5 \, \text{kg/kmol}} \approx 3.77 \, \text{kmol} \] Ahora, necesitamos determinar el valor de \( c_v \) al inicio y al final del proceso. Usaremos la temperatura inicial y final para obtener \( c_v \) a esas temperaturas: 1. **Temperatura Inicial (\( T_i = 373.15 \, K \))**: \[ c_{v,i} \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot (373.15)^3 - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot (373.15)^2 + 0.053 \cdot (373.15) + 3.012 \] Realizando las operaciones: \[ c_{v,i} \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot 5.148 \cdot 10^9 - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot 1.39 \cdot 10^5 + 0.053 \cdot 373.15 + 3.012 \] \[ c_{v,i} \approx 1.441 - 0.104 + 19.8 + 3.012 \approx 3.43 \, \text{kJ/(mol K)} \] 2. **Temperatura Final (\( T_f = 448.15 \, K \))**: \[ c_{v,f} \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot (448.15)^3 - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot (448.15)^2 + 0.053 \cdot (448.15) + 3.012 \] Realizando las operaciones: \[ c_{v,f} \approx 2.8 \cdot 10^{-10} \cdot 9.013 \cdot 10^9 - 7.5 \cdot 10^{-7} \cdot 2.008 \cdot 10^5 + 0.053 \cdot 448.15 + 3.012 \] \[ c_{v,f} \approx 2.53 - 0.1506 + 23.7 + 3.012 \approx 5.42 \, \text{kJ/(mol K)} \] Ahora, usando el valor promedio de \( c_v \): \[ c_v \approx \frac{c_{v,i} + c_{v,f}}{2} \approx \frac{3.43 + 5.42}{2} \approx 4.43 \, \text{kJ/(mol K)} \] Ahora, calculemos el calor (\( Q \)): \[ \Delta T = T_f - T_i = 448.15 - 373.15 = 75 \, K \] \[ Q = n \cdot c_v \cdot \Delta T \approx 3.77 \cdot 4.43 \cdot 75 \approx 1258.68 \, \text{kJ} \] ### (c) Cambio de Entalpía Para cambios de temperatura en un proceso isocórico, el cambio de energía interna (\( \Delta U \)) es igual al calor transferido (\( Q \)), y el cambio de entalpía también es relacionado directamente con el calor en condiciones de presión constante, que se puede aproximar a: \[ \Delta H = Q + \Delta U \] Sin embargo, debido al trabajo en un sistema isocórico, podemos establecer que: \[ \Delta H \approx Q \] Por lo tanto, el cambio de entalpía \( \Delta H \) es aproximadamente igual al calor calculado. ### Signo de los Resultados - El trabajo realizado \( W = 0 \), es un resultado esperado en un proceso isocórico. - El calor \( Q > 0 \), indica que el sistema absorbió calor, lo cual es consistente con el aumento de temperatura del gas. - El cambio de entalpía \( \Delta H > 0 \) también indica que el sistema ha ganado energía interna. ### Resumen Final - **Trabajo, \( W \)**: \( 0 \, \text{kJ} \) - **Calor, \( Q \)**: \( 1258.68 \, \text{kJ} \) - **Cambio de entalpía, \( \Delta H \)**: \( 1258.68 \, \text{kJ} \) Por lo tanto, estos resultados reflejan un proceso donde se necesita energía en forma de calor para aumentar la temperatura del gas sin realizar trabajo en el entorno.