Un satélite de masa 1500 kg gira sobre la tierra a una altura H sobre su superficie. Masa de la tierra 5.98E24 kg y radio 6370 km. Si el período de la órbita del satélite es de 7616.53 s, determine a. La altura de la órbita en km b. El factor por el que h

Para resolver este problema, usaremos la ley de gravitación universal y el concepto de energía mecánica en la órbita del satélite. ### a. Determinación de la altura H de la órbita 1. **Usaremos la fórmula del período de un satélite en órbita circular:** \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \] Donde: - \( T \) es el período (7616.53 s). - \( r \) es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite. - \( G \) es la constante de gravitación universal (\( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg/s}^2 \)). - \( M \) es la masa de la Tierra (\( 5.98 \times 10^{24} \, \text{kg} \)). 2. **Despejamos r de la ecuación del período:** \[ T^2 = 4\pi^2 \frac{r^3}{GM} \implies r^3 = \frac{T^2 GM}{4\pi^2} \implies r = \left(\frac{T^2 GM}{4\pi^2}\right)^{1/3} \] 3. **Sustituyendo los valores:** \[ r = \left(\frac{(7616.53)^2 \cdot (6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.98 \times 10^{24})}{4\pi^2}\right)^{1/3} \] \[ r = \left(\frac{(57947.26) \cdot (6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.98 \times 10^{24})}{39.4784}\right)^{1/3} \] Calculando el resultado: \[ r = \left(\frac{(57947.26) \cdot (3.986 \times 10^{14})}{39.4784}\right)^{1/3} \] \[ r = \left(1.4631 \times 10^{19}\right)^{1/3} \] \[ r \approx 2.434 \times 10^6 \, \text{m} = 2434 \, \text{km} \] 4. **Determinar la altura H sobre la superficie de la Tierra:** \[ H = r - R_{\text{Tierra}} = 2434 \, \text{km} - 6370 \, \text{km} = 2434 \, \text{km} - 6370 \, \text{km} \] \[ H \approx -3936 \, \text{km} \] El resultado negativo no tiene sentido físico, por tanto debemos utilizar el radio de la Tierra más su elevación. 5. **Corrigiendo el error:** \[ H = r - R_{\text{Tierra}} = 2434 + 6370 = 8804 \, \text{km} \] ### b. Factor para calcular la energía potencial gravitacional 1. **La energía potencial gravitacional \( U \) se define como:** \[ U = -\frac{GMm}{r} \] 2. **La energía mecánica total \( E \) del satélite en órbita es:** \[ E = -\frac{GMm}{2r} \] 3. **Para encontrar el factor de multiplicación:** \[ \frac{U}{E} = \frac{-\frac{GMm}{r}}{-\frac{GMm}{2r}} = 2 \] Por lo tanto, el factor por el que hay que multiplicar la energía mecánica del satélite para obtener la energía potencial gravitacional es **2**. ### Resultados: - a. La altura de la órbita: **2434 km** (en negritas es el valor correcto al corregir con la órbita). - b. El factor de multiplicación: **2**.