Un planeta tiene una masa de 6E24 kg y un radio de 5000 km, se tiene un satélite de masa de 2976.7 kg que gira a una altura de 1000 km sobre superficie del planeta. El satélite tiene una energía mecánica de -1E11 J. Determine a. La velocidad tangencial de

Para resolver el problema descrito, vamos a utilizar las fórmulas relacionadas con la física gravitacional. ### a. La velocidad tangencial del satélite en m/s Primero necesitamos calcular la distancia desde el centro del planeta hasta el satélite. Dado que el radio del planeta es de 5000 km y el satélite está a 1000 km de altura, la distancia \( r \) desde el centro del planeta al satélite es: \[ r = \text{radio del planeta} + \text{altura del satélite} = 5000 \, \text{km} + 1000 \, \text{km} = 6000 \, \text{km} = 6 \times 10^6 \, \text{m} \] La fuerza gravitacional que actúa sobre el satélite está dada por: \[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \] donde: - \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg} \cdot \text{s}^2 \) (constante de gravitación), - \( M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \) (masa del planeta), - \( m = 2976.7 \, \text{kg} \) (masa del satélite), - \( r = 6 \times 10^6 \, \text{m} \) (distancia desde el centro del planeta). La fuerza gravitacional también proporciona la centrípeta necesaria para mantener al satélite en su órbita. Usamos la siguiente relación: \[ F_{\text{centrípeta}} = \frac{m v^2}{r} \] Igualando ambas fuerzas, tenemos: \[ \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \] Cancelamos \( m \) de ambos lados (asumiendo \( m \neq 0 \)): \[ \frac{G \cdot M}{r^2} = \frac{v^2}{r} \] Multiplicamos ambos lados por \( r \): \[ \frac{G \cdot M}{r} = v^2 \] Finalmente, despejamos \( v \): \[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} \] Sustituyendo los valores: \[ v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (6 \times 10^{24})}{6 \times 10^6}} \] Haciendo la operación: \[ v = \sqrt{\frac{4.0044 \times 10^{14}}{6 \times 10^6}} = \sqrt{6.674 \times 10^7} \approx 8162.7 \, \text{m/s} \] ### b. La energía potencial gravitacional en J que tiene el satélite en órbita La energía potencial gravitacional \( U \) se puede calcular con la siguiente fórmula: \[ U = -\frac{G \cdot M \cdot m}{r} \] Sustituyendo los valores: \[ U = -\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (6 \times 10^{24}) \cdot (2976.7)}{6 \times 10^6} \] Calculamos el numerador: \[ U = -\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (1.79202 \times 10^{28})}{6 \times 10^6} = -\frac{1.19688 \times 10^{18}}{6 \times 10^6} \approx -1.99473 \times 10^{11} \, \text{J} \] Por lo tanto, la energía potencial gravitacional \( U \) que tiene el satélite es aproximadamente: \[ U \approx -1.99 \times 10^{11} \, \text{J} \] ### Resumen de Resultados a. La velocidad tangencial del satélite es aproximadamente \( 8162.7 \, \text{m/s} \). b. La energía potencial gravitacional del satélite en órbita es aproximadamente \( -1.99 \times 10^{11} \, \text{J} \).