En una línea recta tenemos en un extremo el centro de masa de un planeta y en otro extremo el centro de masa de la luna del planeta. La distancia entre los respectivos centros de masa es de 350000 km. Suponer que un cohete de masa M se dirige desde el pla

Para encontrar la distancia desde el centro del planeta donde las fuerzas de atracción gravitacional se anulan, se establece la condición de que la fuerza gravitacional que ejerce el planeta sobre el cohete es igual a la fuerza que ejerce la luna sobre el cohete. ### Fórmulas: La fuerza gravitacional \( F \) entre dos masas se describe por la ley de gravitación universal de Newton: \[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \] donde: - \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2 \) es la constante de gravitación universal, - \( m_1 \) y \( m_2 \) son las masas de los cuerpos en interacción, - \( r \) es la distancia entre los centros de masa de las dos masas. ### Variables conocidas: - \( M_p = 9 \times 10^{24} \, \text{kg} \) (masa del planeta) - \( M_l = 2 \times 10^{23} \, \text{kg} \) (masa de la luna) - \( D = 350000 \, \text{km} = 3.5 \times 10^8 \, \text{m} \) (distancia entre el planeta y la luna) ### Planteamiento: Designamos la distancia desde el planeta al punto de anulación de fuerzas como \( x \). Así, la distancia desde la luna al mismo punto será \( 3.5 \times 10^8 - x \). ### Igualando las fuerzas: Planteamos las fuerzas gravitacionales: 1. Fuerza del planeta sobre el cohete: \[ F_p = \frac{G \cdot M_p \cdot M}{x^2} \] 2. Fuerza de la luna sobre el cohete: \[ F_l = \frac{G \cdot M_l \cdot M}{(3.5 \times 10^8 - x)^2} \] Para que las fuerzas se anulen, se igualan: \[ \frac{G \cdot M_p \cdot M}{x^2} = \frac{G \cdot M_l \cdot M}{(3.5 \times 10^8 - x)^2} \] ### Cancelando \( G \) y \( M \): \[ \frac{M_p}{x^2} = \frac{M_l}{(3.5 \times 10^8 - x)^2} \] ### Despejando: \[ M_p (3.5 \times 10^8 - x)^2 = M_l x^2 \] Sustituyendo las masas: \[ 9 \times 10^{24} (3.5 \times 10^8 - x)^2 = 2 \times 10^{23} x^2 \] Dividiendo ambos lados entre \( 10^{23} \): \[ 90 (3.5 \times 10^8 - x)^2 = 2 x^2 \] \[ 90 (12.25 \times 10^{16} - 7 \times 10^8 x + x^2) = 2 x^2 \] \[ 90 \times 12.25 \times 10^{16} - 6300 \times 10^8 x + 90 x^2 = 2 x^2 \] Reuniendo términos: \[ (90 - 2)x^2 - 6300 \times 10^8 x + 90 \times 12.25 \times 10^{16} = 0 \] \[ 88 x^2 - 6300 \times 10^8 x + 1102.5 \times 10^{16} = 0 \] ### Resolviendo la ecuación cuadrática: Usamos la fórmula general: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = 88, b = -6300 \times 10^8, c = 1102.5 \times 10^{16} \). Primero calculamos \( b^2 - 4ac \): \[ b^2 = (6300 \times 10^8)^2 = 3.969 \times 10^{22} \] \[ 4ac = 4 \times 88 \times 1102.5 \times 10^{16} \approx 3.8838 \times 10^{22} \] Por lo tanto: \[ b^2 - 4ac \approx 3.969 \times 10^{22} - 3.8838 \times 10^{22} \approx 0.0852 \times 10^{22} \approx 8.52 \times 10^{20} \] Calculamos la raíz cuadrada: \[ \sqrt{b^2 - 4ac} \approx \sqrt{8.52 \times 10^{20}} \approx 9.23 \times 10^{10} \] Sustituyendo en la fórmula: \[ x = \frac{6300 \times 10^8 \pm 9.23 \times 10^{10}}{176} \] Calculamos el valor: Para el valor positivo: \[ x \approx \frac{6300 \times 10^8 + 9.23 \times 10^{10}}{176} = \frac{6300 \times 10^8 + 92.3 \times 10^8}{176} = \frac{6392.3 \times 10^8}{176} \approx 36315.34 \, \text{km} \] Por lo tanto, la distancia desde el centro del planeta donde las fuerzas de atracción gravitacional se anulan es aproximadamente: \[ \text{Respuesta: } 36315.34 \, \text{km} \]