Tenemos un cubo sólido de metal de 20 cm de lado sumergido en un depósito de agua muy grande. Considerando que las densidades del metal y el agua son de 6000 y 1000 kg/m^3 respectivamente. Determine 1. Si se encuentra completamente sumergido, sostenido me

Para resolver las tres partes del problema que has planteado, procederemos paso a paso. ### Parte 1: Tensión en el cable si el cubo está sumergido Para calcular la tensión en el cable que sostiene el cubo sumergido, debemos considerar la fuerza de flotación que actúa sobre el cubo y su peso. 1. **Peso del cubo** (\( W \)): \[ W = \text{masa} \times g \] La masa del cubo se determina por su volumen y la densidad: \[ \text{Volumen del cubo} = L^3 = (0.2 \, \text{m})^3 = 0.008 \, \text{m}^3 \] \[ \text{Masa del cubo} = \text{Volumen} \times \text{Densidad}_{\text{metal}} = 0.008 \, \text{m}^3 \times 6000 \, \text{kg/m}^3 = 48 \, \text{kg} \] Por lo tanto, el peso del cubo es: \[ W = 48 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 470 \, \text{N} \] 2. **Fuerza de flotación** (\( F_b \)): \[ F_b = \text{Volumen desplazado} \times \text{Densidad}_{\text{agua}} \times g \] El volumen desplazado es el mismo que el volumen del cubo: \[ F_b = 0.008 \, \text{m}^3 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 78.48 \, \text{N} \] 3. **Tensión en el cable** (\( T \)): Al estar el cubo sumergido, la tensión en el cable se puede encontrar como: \[ T = W - F_b \] \[ T = 470 \, \text{N} - 78.48 \, \text{N} \approx 391.52 \, \text{N} \] ### Parte 2: Si el cubo se hunde con una aceleración uniforme Si el cubo empieza a hundirse con una aceleración uniforme (\( a = g \)), el cuerpo estará en caída libre, por lo tanto, la tensión en el cable llega a ser \( 0 \) porque no hay fuerza que lo sostenga. Sin embargo, dado que mencionaste "aceleración uniforme", podríamos entenderlo como una aceleración constante. En este contexto, al romperse el cable y considerando que no hay más fuerzas de soporte, se podrían considerar diferentes escenarios dependiendo de cómo se entienda la "aceleración uniforme". Pero en términos sencillos, si el cubo se hunde, ya no habrá tensión porque el cubo se mueve sin un soporte. ### Parte 3: Flotando en mercurio Ahora vamos a calcular la altura a la que flota el cubo en el mercurio. 1. **Fuerza de flotación en mercurio**: \[ F_b = \text{Volumen del cubo} \times \text{Densidad}_{\text{mercurio}} \times g \] \[ F_b = 0.008 \, \text{m}^3 \times 13333.33 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 1048 \, \text{N} \] 2. **Peso del cubo**: Ya calculado anteriormente: \[ W \approx 470 \, \text{N} \] 3. **Condición de flotación**: Para que el cubo flote, el peso del cubo debe ser igual a la fuerza de flotación, pero dado que este no es el caso: \[ W < F_b \] Esto significa que el cubo flotará y se sumergirá hasta cierto nivel. 4. **Altura del cubo sumergido**: Usamos el principio de Arquímedes para determinar la altura del cubo sumergido (\( h \)): \[ F_b = W \] Esto se expresa como: \[ \text{Densidad}_{\text{mercurio}} \cdot g \cdot A \cdot h = W \] Donde \( A \) es el área de la base del cubo: \[ A = L^2 = (0.2 \, \text{m})^2 = 0.04 \, \text{m}^2 \] Entonces, substituyendo: \[ 13333.33 \cdot 9.81 \cdot 0.04 \cdot h = 470 \] \[ h = \frac{470}{13333.33 \cdot 9.81 \cdot 0.04} \approx 0.03573 \, \text{m} = 3.573 \, \text{cm} \] Por lo tanto, la altura de la parte submergida del cubo sobre el mercurio es: \[ \text{Altura sobre el mercurio} = L - h = 20 \, \text{cm} - 3.573 \, \text{cm} = 16.427 \, \text{cm} \] Resumiendo: 1. La tensión en el cable: **391.52 N** 2. Al romperse el cable, cae sin tensión. 3. Altura sobre el mercurio: **16.43 cm**.