Un pequeño cuerpo de masa 0.25 kg está ejecutando un movimiento armónico simple de amplitud 0.25 m y periodo 0.40 s. Hallar a. El valor máximo de la fuerza b. Rapidez máxima de la masa c. Energía mecánica del sistema
Para resolver el problema de un cuerpo en movimiento armónico simple (MAS) con las características dadas, utilizaremos las siguientes fórmulas:
### Datos:
- Masa (\( m \)) = 0.25 kg
- Amplitud (\( A \)) = 0.25 m
- Periodo (\( T \)) = 0.40 s
### a. Valor máximo de la fuerza
La fuerza máxima (\( F_{\text{max}} \)) que actúa sobre el cuerpo en MAS se puede calcular usando la relación:
\[
F_{\text{max}} = m \cdot a_{\text{max}}
\]
Donde \( a_{\text{max}} \) es la aceleración máxima, que se obtiene de:
\[
a_{\text{max}} = \omega^2 A
\]
Donde \( \omega \) es la frecuencia angular, que se puede calcular como:
\[
\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
Calculamos \( \omega \):
\[
\omega = \frac{2\pi}{0.40 \, \text{s}} \approx 15.70796 \, \text{rad/s}
\]
Ahora calculamos la aceleración máxima:
\[
a_{\text{max}} = \omega^2 A = (15.70796)^2 \cdot 0.25 \approx 61.687 \, \text{m/s}^2
\]
Ahora podemos calcular la fuerza máxima:
\[
F_{\text{max}} = m \cdot a_{\text{max}} = 0.25 \, \text{kg} \cdot 61.687 \, \text{m/s}^2 \approx 15.42175 \, \text{N}
\]
### b. Rapidez máxima de la masa
La rapidez máxima (\( v_{\text{max}} \)) en un MAS se calcula con la siguiente fórmula:
\[
v_{\text{max}} = \omega A
\]
Usamos \( \omega \) que ya hemos calculado:
\[
v_{\text{max}} = \omega A = 15.70796 \, \text{rad/s} \cdot 0.25 \, \text{m} \approx 3.92699 \, \text{m/s}
\]
### c. Energía mecánica del sistema
La energía mecánica total (\( E \)) en un sistema de MAS se puede calcular con la fórmula:
\[
E = \frac{1}{2} k A^2
\]
Donde \( k \) es la constante del resorte, que se relaciona con la masa y la frecuencia angular por la relación:
\[
k = m \cdot \omega^2
\]
Calculamos \( k \):
\[
k = 0.25 \, \text{kg} \cdot (15.70796)^2 \approx 61.687 \, \text{N/m}
\]
Ahora podemos calcular la energía mecánica:
\[
E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 61.687 \cdot (0.25)^2 \approx 0.968 \, \text{J}
\]
### Resumen de Resultados:
a. Valor máximo de la fuerza: **15.42 N**
b. Rapidez máxima de la masa: **3.93 m/s**
c. Energía mecánica del sistema: **0.97 J**