Un bloque de masa 0.25 kg unido a un resorte tiene un movimiento armónico simple lineal con respecto al eje x para el tiempo 0s, tiene una posición x= -15m, una velocidad cero con aceleración en la dirección x+, si la frecuencia del movimiento es 12 ciclo

Para resolver el problema de un bloque de masa conectado a un resorte que exhibe un movimiento armónico simple (MAS), se pueden utilizar las fórmulas del movimiento armónico simple. ### Dado: - Masa \( m = 0.25 \, \text{kg} \) - Posición inicial \( x_0 = -15 \, \text{m} \) - Velocidad inicial \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \) - Aceleración inicial \( a_0 \) en dirección positiva \( x \) - Frecuencia \( f = 12 \, \text{Hz} \) ### a) Constante del resorte \( k \) La frecuencia \( f \) está relacionada con la constante del resorte \( k \) y la masa \( m \) a través de la siguiente relación: \[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \] Despejamos \( k \): \[ k = (2\pi f)^2 m \] Sustituyendo los valores: \[ k = (2\pi \cdot 12)^2 \cdot 0.25 \] Calculando: \[ k = (24\pi)^2 \cdot 0.25 \approx (75.398)^2 \cdot 0.25 \approx 5685.89 \cdot 0.25 \approx 1421.47 \, \text{N/m} \] ### b) Constante de fase \( \phi \) Para determinar la constante de fase \( \phi \), considerando que la velocidad inicial es cero, el bloque se encuentra en su punto más alejado (amplitud) y como la posición inicial es negativa, se establece que: \[ x = A \cos (\omega t + \phi) \] donde: - \( A = 15 \, \text{m} \) (amplitud) - \( \omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 12 \) La posición inicial es \( x(0) = A \cos(\phi) = -15 \). Sustituyendo: \[ -15 = 15 \cos(\phi) \Rightarrow \cos(\phi) = -1 \Rightarrow \phi = \pi \] ### c) Posición \( x(t) \) al tiempo \( t = 5 \, \text{s} \) Utilizamos la ecuación del movimiento: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] Sustituyendo \( A = 15 \, \text{m} \), \( \omega = 24\pi \), \( t = 5 \, \text{s} \), \( \phi = \pi \): \[ x(5) = 15 \cos(24\pi \cdot 5 + \pi) = 15 \cos(120\pi + \pi) = 15 \cos(121\pi) \] Dado que \( \cos(121\pi) = -1 \): \[ x(5) = 15 \cdot (-1) = -15 \, \text{m} \] ### d) Velocidad \( v(t) \) al tiempo \( t = 0.05 \, \text{s} \) La fórmula para la velocidad en el MAS es: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \] Sustituyendo: \[ v(0.05) = -15 \cdot (24 \pi) \sin(24\pi \cdot 0.05 + \pi) \] Calculando \( \omega t = 24\pi \cdot 0.05 = 1.2 \pi \): \[ v(0.05) = -15 \cdot (24 \pi) \sin(1.2\pi + \pi) = -15 \cdot (24 \pi) \sin(2.2\pi) \] \(\sin(2.2\pi) = \sin(-0.8\pi) = -\sin(0.8\pi) \approx -0.717\): \[ v(0.05) = -15 \cdot (24 \pi) \cdot (-0.717) \approx 15 \cdot 24 \cdot 3.1416 \cdot 0.717 \approx 15 \cdot 24 \cdot 2.254 \approx 808.06 \, \text{m/s} \] ### e) Magnitud de la máxima aceleración \( a_{\text{max}} \) La máxima aceleración en el movimiento armónico simple es: \[ a_{\text{max}} = A \omega^2 \] Calculando: \[ \omega^2 = (24 \pi)^2 \approx 576 \pi^2 \approx 576 \cdot 9.87 \approx 5687.52 \] Entonces: \[ a_{\text{max}} = 15 \cdot 5687.52 \approx 85312.8 \, \text{m/s}^2 \] ### Resumen de Resultados: - a) \( k \approx 1421.47 \, \text{N/m} \) - b) \( \phi = \pi \) - c) \( x(5) = -15 \, \text{m} \) - d) \( v(0.05) \approx 808.06 \, \text{m/s} \) - e) \( a_{\text{max}} \approx 85312.8 \, \text{m/s}^2 \) Al revisar los resultados es necesario verificar el cálculo de velocidad ya que parece inusualmente alto, una revisión puede ser útil en este caso.