Una máquina de Carnot, formada por un sistema cilindro-pistón, trabaja con 1mol de gas un ideal con 𝐶𝑝,𝑚 (gi) = 85.2986 J/(mol ∙ K) como sustancia de trabajo. La expansión isotérmica ocurre a 630°C desde un volumen de 3.4 litros hasta 15 litros. Si el
Para un ciclo de Carnot operando con un gas ideal, analizaremos cada parte del ciclo y realizaremos las estimaciones solicitadas.
### (a) Variables para cada estado:
1. **Estado 1 (Inicio de la expansión isotérmica):**
- Temperatura (\( T_1 = 630°C = 903.15 K \))
- Volumen (\( V_1 = 3.4 L = 0.0034 m^3 \))
- Presión (\( P_1 \)): Vamos a calcularla usando la ecuación de estado del gas ideal, \( PV = nRT \):
\[
P_1 = \frac{nRT_1}{V_1}
\]
\[
P_1 = \frac{(1 \, \text{mol})(8.314 \, \text{J/(mol \cdot K)})(903.15 \, \text{K})}{0.0034 \, \text{m}^3} \approx 2254501.58 \, \text{Pa} \approx 22.54 \, \text{bar}
\]
2. **Estado 2 (Fin de la expansión isotérmica):**
- Temperatura (\( T_2 = 630°C = 903.15 K \)) (isotérmica)
- Volumen (\( V_2 = 15 L = 0.015 m^3 \))
- Presión (\( P_2 \)):
\[
P_2 = \frac{nRT_2}{V_2}
\]
\[
P_2 = \frac{(1 \, \text{mol})(8.314)(903.15)}{0.015} \approx 1305300.44 \, \text{Pa} \approx 13.05 \, \text{bar}
\]
3. **Estado 3 (Compresión adiabática):**
- Temperatura (\( T_3 = 110°C = 383.15 K \))
- Volumen (\( V_3 \)): Se puede calcular usando la relación de adiabaticidad. Para la compresión adiabática del gas ideal:
\[
\left(\frac{T_1}{T_3}\right) = \left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma - 1}
\]
Donde \( \gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{v,m}} \) y \( C_{v,m} = C_{p,m} - R \).
\[
C_{v,m} = 85.2986 - \left(\frac{8.314}{1}\right) \approx 76.9846 \, \text{J/(mol \cdot K)}
\]
\[
\gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{v,m}} \approx \frac{85.2986}{76.9846} \approx 1.107
\]
Resolviendo para \( V_3 \):
\[
V_3 = V_2 \left(\frac{T_1}{T_3}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}} \approx 0.015 \left(\frac{903.15}{383.15}\right)^{\frac{1}{0.107}} \approx 0.003028 \, m^3 \approx 3.03 L
\]
- Presión (\( P_3 \)):
\[
P_3 = \frac{nRT_3}{V_3} \approx \frac{(1)(8.314)(383.15)}{0.003028} \approx 1050481.75 \, \text{Pa} \approx 10.50 \, \text{bar}
\]
4. **Estado 4 (Fin de la compresión adiabática):**
- Temperatura (\( T_4 = 110°C = 383.15 K \)) (isotérmica)
- Volumen (\( V_4 \)): \( V_4 = V_1 = 3.4 L \)
- Presión (\( P_4 \)):
\[
P_4 = \frac{nRT_4}{V_4} \approx \frac{(1)(8.314)(383.15)}{0.0034} \approx 801769.21 \, \text{Pa} \approx 8.02 \, \text{bar}
\]
Resumen:
| Estado | \( T \) (K) | \( V \) (m³) | \( P \) (Pa) |
|--------|-------------|---------------|----------------|
| 1 | 903.15 | 0.0034 | 2254501.58 |
| 2 | 903.15 | 0.015 | 1305300.44 |
| 3 | 383.15 | 0.003028 | 1050481.75 |
| 4 | 383.15 | 0.0034 | 801769.21 |
### (b) Trabajo y calor en cada proceso:
1. **Expansión isotérmica (1 → 2)**:
\[
Q_{12} = nRT_1 \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right) = (1)(8.314)(903.15) \ln\left(\frac{0.015}{0.0034}\right)
\]
\[
W_{12} = Q_{12}, \text{ ya que } \Delta U = 0
\]
2. **Compresión adiabática (2 → 3)**:
\[
Q_{23} = 0 \text{ (no hay transferencia de calor)}
\]
\[
W_{23} = \Delta U = nC_{v,m}(T_3 - T_2) = (1)(76.9846)(383.15 - 903.15)
\]
3. **Compresión isotérmica (3 → 4)**:
\[
Q_{34} = nRT_3 \ln\left( \frac{V_4}{V_3} \right)
\]
\[
W_{34} = -Q_{34}
\]
4. **Expansión adiabática (4 → 1)**:
\[
Q_{41} = 0
\]
\[
W_{41} = \Delta U = nC_{v,m}(T_1 - T_4)
\]
### (c) Potencia de la máquina:
La potencia se puede estimar teniendo en cuenta el trabajo total por ciclo y la frecuencia.
1. El trabajo en cada proceso es calculado como se mencionó anteriormente, y luego sumamos los trabajos netos (considerando signos).
2. La potencia se calcula como:
\[
P = \frac{W_{\text{neto}}}{T_{\text{ciclo}}}
\]
Donde \( T_{\text{ciclo}} \) es el tiempo total para completar un ciclo a la frecuencia de 500 RPM.
Dado que no se especifica \( T_{\text{ciclo}} \), tomaremos que se realiza un ciclo en \( \frac{60 \, \text{s}}{500 \text{RPM}} = 0.12 \, \text{s} \).
### (d) Diagramas \( P-V \) y \( T-S \):
El diagrama \( P-V \) y el diagrama \( T-S \) se pueden esbozar utilizando los puntos calculados. El proceso tiene la forma típica de un ciclo de Carnot:
1. **Diagrama \( P-V \)**:
- Desde (1) a (2):
- \( P \) disminuye, \( V \) aumenta (expansión isotérmica).
- Desde (2) a (3):
- \( P \) disminuye, \( V \) disminuye (compresión adiabática).
- Desde (3) a (4):
- \( P \) aumenta, \( V \) es constante.
- Desde (4) a (1):
- \( P \) disminuye, \( V \) aumenta (compresión isotérmica).
2. **Diagrama \( T-S \)**:
- Desde (1) a (2):
- \( S \) aumenta (expansión isotérmica a temperatura constante).
- Desde (2) a (3):
- \( S \) disminuye (compresión adiabática a temperatura constante).
- Desde (3) a (4):
- \( S \) es constante (compresión isotérmica).
- Desde (4) a (1):
- \( S \) disminuye (expansión adiabática).
Lamentablemente, no puedo hacer un esbozo gráfico directo aquí, pero puedes dibujar estos diagramas basándote en las transiciones descritas.
### Nota:
Las referencias a \( W_{\text{neto}} \) y otros cálculos se pueden llevar a cabo numéricamente una vez que se realicen los cálculos anteriores correspondientes a cada proceso.