Si estoy buscando los vectores propios y tengo que mi sistema de ecuaciones me dice 3k1+k3=0 y -2k1=0 cual sería la respuesta de ese vector propio?

Para encontrar el vector propio a partir del sistema de ecuaciones que me diste: 1. La primera ecuación es \(3k_1 + k_3 = 0\). 2. La segunda ecuación es \(-2k_1 = 0\). A partir de la segunda ecuación, podemos deducir que: \[ -2k_1 = 0 \implies k_1 = 0. \] Ahora que sabemos que \(k_1 = 0\), podemos sustituir este valor en la primera ecuación: \[ 3(0) + k_3 = 0 \implies k_3 = 0. \] Hasta ahora tenemos que \(k_1 = 0\) y \(k_3 = 0\). Como no hay una restricción en \(k_2\), este puede ser cualquier número. Entonces podemos expresar el vector propio en términos de \(k_2\): \[ \mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k_2 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Por lo tanto, el vector propio es de la forma: \[ \mathbf{k} = k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \] donde \(k_2\) puede ser cualquier valor diferente de cero. Así que el vector propio es paralela al eje \(y\) en coordenadas cartesianas.