Encuentre dos soluciones linealmente independientes en forma de Serie de Potencias para la ecuación Diferencial: (x2−1)y′′+4xy′+2y=0 centradas en el PUNTO ORDINARIO " X0=0 "

Para resolver la ecuación diferencial \( (x^2 - 1)y'' + 4xy' + 2y = 0 \) utilizando una serie de potencias centrada en el punto ordinario \( x_0 = 0 \), comenzamos asumiendo que la solución tiene la forma de una serie de potencias: \[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] Donde \( a_n \) son los coeficientes a determinar. Derivamos \( y \) para obtener \( y' \) y \( y'' \): \[ y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \] \[ y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \] Sustituimos \( y \), \( y' \) y \( y'' \) en la ecuación diferencial dada: \[ (x^2 - 1) \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + 4x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0 \] Llevamos cada término a un formato común para combinar las series: 1. Para el primer término \( (x^2 - 1)y'' \): \[ (x^2 - 1) y'' = x^2 \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \] La serie se convierte en: \[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^n - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \] El segundo sumatorio se puede ajustar a \( n \) comenzando desde 0: \[ = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_{n+2} x^n \] 2. Para el segundo término \( 4xy' \): \[ 4x y' = 4x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 4 \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n \] 3. Para el tercer término \( 2y \): \[ 2y = 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] Reuniendo todos los términos en una única serie, tenemos: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (n(n-1)a_{n+2} + 4na_n + 2a_n)x^n = 0 \] Igualamos cada coeficiente de \( x^n \) a cero: \[ n(n-1) a_{n+2} + (4n + 2)a_n = 0 \] Para \( n=0 \): \[ a_2 = -\frac{2}{0 \cdot 1} a_0 \text{ (El término se elimina, así que no podemos usarlo)} \] Para \( n=1 \): \[ a_3 = -\frac{6}{2} a_1 = -3 a_1 \] Para \( n=2 \): \[ 2a_4 + 6a_2 = 0 \Rightarrow a_4 = -3 a_2 \] Para \( n=3 \): \[ 6a_5 + 10 a_3 = 0 \Rightarrow a_5 = -\frac{10}{6} a_3 = -\frac{5}{3} a_3 \] Y continuamos este proceso, generando una relación que nos permita establecer los términos a partir de \( a_0 \) y \( a_1 \). Al resolver esto, obtenemos dos grupos de soluciones: 1. Una solución básica si elegimos \( a_0 = 1 \) y \( a_1 = 0 \) (lo que lleva a términos pares). 2. Otra solución si elegimos \( a_0 = 0 \) y \( a_1 = 1 \) (lo que lleva a términos impares). Por lo tanto, las soluciones linealmente independientes en forma de serie de potencias centradas en \( x = 0 \) pueden ser expresadas como: \[ y_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n} \quad (para\ a_0 \neq 0) \] \[ y_2(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^{2n+1} \quad (para\ b_1 \neq 0) \] Donde los coeficientes \( a_n \) y \( b_n \) se encuentran de acuerdo con las relaciones obtenidas arriba. Espere algunos resultados específicos para \( a_n \) o \( b_n \) según cómo los calcule.