Una varilla de 4 m de longitud con peso despreciable está sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual longitud 1.25 m. El área transversal de A es de 0.5 cm^2 y la de B desconocida . El módulo de Young del alambre A es de 2x10^11 N/m^2; el de B

Para resolver este problema, utilizamos el principio de que en un sistema en equilibrio, cuando hay dos cables (A y B) sosteniendo una viga, la deformación (elongación) en ambos cables será la misma si están sujetos a la misma carga. ### Datos del problema - Longitud de la varilla \( L = 4 \, \text{m} \) - Longitud de los alambres \( l_A = l_B = 1.25 \, \text{m} \) - Área transversal del alambre A \( A_A = 0.5 \, \text{cm}^2 = 0.5 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \) - Módulo de Young del alambre A \( E_A = 2 \times 10^{11} \, \text{N/m}^2 \) - Módulo de Young del alambre B \( E_B = 1.5 \times 10^{11} \, \text{N/m}^2 \) - Peso soportado por la varilla \( P = 200000 \, \text{N} \) ### a) Tensión en el cable A La tensión en cada cable puede ser calculada considerando que el sistema debe estar en equilibrio. Supongamos que la tensión en el cable A es \( T_A \) y en el cable B es \( T_B \). Con el peso \( P \) actuando, podemos escribir: \[ T_A + T_B = P \] Dado que la carga está ubicada a 1 m del extremo del cable A, podemos establecer un equilibrio de momentos alrededor de un punto (por ejemplo, el extremo A) para determinar la relación entre las tensiones: \[ T_B \cdot L_{B} = T_A \cdot L_{A} \] donde \( L_A = 1.25 \, \text{m} + (4 - 1 - 1) \, \text{m} = 4 - 1 - 1 = 2 \, \text{m} \) (esto considerando que la carga está en 1 m del extremo A y la longitud de la varilla es 4 m). La distancia \( L_B \) es la longitud total menos la distancia hasta donde está la carga: \[ L_B = 1.25 \, \text{m} \] Obteniendo la relación de tensiones: \[ T_B \cdot 1.25 = T_A \cdot 2 \] Ahora podemos despejar \( T_B \): \[ T_B = \frac{2}{1.25} T_A = 1.6 T_A \] Sustituyendo esto en la ecuación de equilibrio de fuerzas: \[ T_A + 1.6 T_A = 200000 \] \[ 2.6 T_A = 200000 \] Despejando \( T_A \): \[ T_A = \frac{200000}{2.6} \approx 76923.08 \, \text{N} \] ### b) Área del cable B Sabemos que la deformación (elongación) en ambos cables es la misma. Para el alambre A, la elongación se puede calcular usando la fórmula: \[ \Delta L_A = \frac{T_A \cdot l_A}{A_A \cdot E_A} \] Para el alambre B: \[ \Delta L_B = \frac{T_B \cdot l_B}{A_B \cdot E_B} \] Al ser \( \Delta L_A = \Delta L_B \), tenemos: \[ \frac{T_A \cdot l_A}{A_A \cdot E_A} = \frac{T_B \cdot l_B}{A_B \cdot E_B} \] Sustituyendo \( T_B \) en la ecuación: \[ \frac{T_A \cdot l_A}{A_A \cdot E_A} = \frac{(1.6 T_A) \cdot l_B}{A_B \cdot E_B} \] Podemos cancelar \( T_A \) (asumiendo que \( T_A \neq 0 \)): \[ \frac{l_A}{A_A \cdot E_A} = \frac{1.6 \cdot l_B}{A_B \cdot E_B} \] Sustituyendo los valores: \[ \frac{1.25}{0.5 \times 10^{-4} \cdot 2 \times 10^{11}} = \frac{1.6 \cdot 1.25}{A_B \cdot 1.5 \times 10^{11}} \] Calculamos el lado izquierdo: \[ \frac{1.25}{0.5 \times 10^{-4} \cdot 2 \times 10^{11}} = \frac{1.25}{1 \times 10^{7}} = 0.125 \times 10^{-7} = 1.25 \times 10^{-1} \] Igualando y despejando: \[ 1.25 \times 10^{-1} = \frac{1.6 \times 1.25}{A_B \cdot 1.5 \times 10^{11}} \] \[ A_B \cdot 1.5 \times 10^{11} = \frac{1.6 \cdot 1.25}{1.25 \times 10^{-1}} \] Calculando: \[ A_B \cdot 1.5 \times 10^{11} = \frac{2}{0.125} = 16 \] Finalmente: \[ A_B = \frac{16}{1.5 \times 10^{11}} \approx 1.067 \times 10^{-10} \, \text{m}^2 = 10.67 \, \text{cm}^2 \] ### Resultados Finales a) Tensión en el cable A: \( T_A \approx 76923.08 \, \text{N} \) b) Área del cable B: \( A_B \approx 10.67 \, \text{cm}^2 \)