Una viga horizontal de 4 m, cuyo peso es 750 N se encuentra en equilibrio, gira sobre un pivote fijo en la pared. La viga está sostenida por un cable en el extremo de la viga hacia la pared, la distancia es de 5 m desde el extremo de la viga a la pared y

Para resolver este problema, aplicamos el principio del equilibrio de momentos (torques) y consideramos todas las fuerzas que actúan sobre la viga. ### Datos - Longitud de la viga \( L = 4 \, \text{m} \) - Peso de la viga \( W_{viga} = 750 \, \text{N} \) (actúa en el centro de la viga, a 2 m del pivote) - Longitud del cable desde el pivote a la pared \( d = 5 \, \text{m} \) (se establece un triángulo con altura de 3 m) - Tensión en el cable \( T = 1250 \, \text{N} \) ### a) Determinar el peso suspendido en el extremo de la viga 1. **Momento en el pivote:** Para que la viga esté en equilibrio, la suma de los momentos alrededor del pivote debe ser igual a cero. - Momento debido al peso de la viga: \[ M_{viga} = W_{viga} \cdot \text{distancia al pivote} = 750 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 1500 \, \text{Nm} \, \text{(en el sentido horario)} \] - Momento debido al peso suspendido \( W_{suspendido} \): \[ M_{suspendido} = W_{suspendido} \cdot \text{distancia al pivote} = W_{suspendido} \cdot 4 \, \text{m} \, \text{(en el sentido antihorario)} \] - Momento debido a la tensión del cable: Al calcular el brazo de palanca, necesitamos la componente horizontal (ya que la tensión se puede descomponer): \[ \text{Alto del triángulo formado por el cable: } 3 \, \text{m}, \text{ y la base es } 5 \, \text{m} \] Usamos el teorema de Pitágoras para la longitud del cable: \[ L_{cable} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \, \text{m} \] El componente vertical de la tensión es: \[ T_y = T \cdot \frac{3}{\sqrt{34}} \, \text{N} \] El momento debido a la tensión en el cable: \[ M_{tension} = T_y \cdot 5 = \left( T \cdot \frac{3}{\sqrt{34}} \right) \cdot 5 \] Sustituyendo \( T = 1250 \, \text{N} \): \[ M_{tension} = 1250 \cdot \frac{3}{\sqrt{34}} \cdot 5 \] 2. **Igualando los momentos:** \[ 1500 = W_{suspendido} \cdot 4 - 1250 \cdot \frac{3}{\sqrt{34}} \cdot 5 \] Resolviendo para \( W_{suspendido} \): \[ W_{suspendido} = \frac{1500 + 1250 \cdot \frac{3}{\sqrt{34}} \cdot 5}{4} \] Calculemos la parte de la tensión: \[ 1250 \cdot \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{34}} = 1250 \cdot \frac{15}{\sqrt{34}} = 1250 \cdot 2.5 \approx 687.5 \, \text{N} \] Por lo tanto, \[ W_{suspendido} = \frac{1500 + 687.5}{4} = \frac{2187.5}{4} \approx 546.875 \, \text{N} \] ### b) Magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo La fuerza de reacción en el apoyo tiene dos componentes: vertical y horizontal. 1. **Componente vertical:** \[ R_y = W_{viga} + W_{suspendido} = 750 \, \text{N} + 546.875 \, \text{N} \approx 1296.875 \, \text{N} \] 2. **Componente horizontal:** Como el cable hace una tensión hacia la pared, hay una fuerza horizontal \( R_x \) que es igual a la componente horizontal de la tensión \( T \): \[ R_x = T_x = T \cdot \frac{5}{\sqrt{34}} = 1250 \cdot \frac{5}{\sqrt{34}} \approx 1250 \cdot 0.857 = 1071.1 \, \text{N} \] Por lo tanto, la fuerza de reacción total en el apoyo \( R \) se obtiene mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes: \[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{1071.1^2 + 1296.875^2} \] Calculando, - \( R_x^2 \approx 1147861.61 \) - \( R_y^2 \approx 1689806.43 \) Finalmente, \[ R \approx \sqrt{1147861.61 + 1689806.43} \approx \sqrt{2837668.04} \approx 1685.1 \, \text{N} \] **Resultados finales:** - Peso suspendido en el extremo de la viga: \( \approx 546.88 \, \text{N} \) - Magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo: \( \approx 1685.1 \, \text{N} \)