ماتریس PSD

ماتریس PSD (Positive Semi-Definite) به نوعی از ماتریس‌ها اطلاق می‌شود که ویژگی‌های خاصی دارند. یک ماتریس مربعی \(A\) مثبت نیمه‌تعریف (PSD) است اگر برای هر بردار غیرصفری \(x\) رابطه زیر برقرار باشد: \[ x^{T} A x \geq 0 \] این تعریف به این معنی است که نتیجه‌ی ضرب داخلی بردار \(x\) با ماتریس \(A\) و سپس با بردار \(x\) دوباره، همیشه بزرگ‌تر یا برابر با صفر خواهد بود. ### ویژگی‌های ماتریس PSD: 1. **همگذاری**: یک ماتریس PSD همواره همتا (symmetric) است، یعنی \(A = A^T\). 2. **ویژگی مقادیر ویژه**: همه مقادیر ویژه یک ماتریس PSD غیرمنفی هستند. 3. **رتبه**: یک ماتریس PSD می‌تواند دارای رتبهٔ کامل یا کمتر از آن باشد؛ اگر تمامی مقادیر ویژه مثبت باشند، ماتریس مثبت تعریف (Positive Definite) خواهد بود. ### کاربردها: ماتریس‌های PSD در بسیاری از زمینه‌ها مانند بهینه‌سازی، تحلیل داده، یادگیری ماشین، و شبکه‌های عصبی کاربرد دارند. به‌ویژه در بهینه‌سازی محدب و نظریه کنترل از properties بسیار مهمی برخوردار هستند. اگر سوال خاصی درباره ماتریس PSD دارید یا اگر به توضیحات بیشتری در مورد کاربردهای آن نیاز دارید، لطفاً بفرمایید.