Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L=1/2h, R=10 ohm, C=0.02f y el circuito es activado por una fuente de voltaje E(t) = 100t voltios, además se sabe que i(o)=0 amp

Para resolver el problema, primero debemos identificar las características del circuito LRC en serie. La ecuación diferencial que describe la corriente \(i(t)\) en un circuito LRC en respuesta a una fuente de voltaje \(E(t)\) se puede expresar como: \[ L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = E(t) \] Dado que tenemos los siguientes valores: - \(L = \frac{1}{2} \, \text{H}\) - \(R = 10 \, \Omega\) - \(C = 0.02 \, \text{F}\) - \(E(t) = 100t \, \text{V}\) - \(i(0) = 0 \, \text{A}\) Primero, podemos calcular los parámetros del circuito: 1. \( \frac{1}{C} = \frac{1}{0.02} = 50 \, \text{F}^{-1} \). Ahora sustituimos estos valores en la ecuación diferencial: \[ \frac{1}{2} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + 10 \frac{di(t)}{dt} + 50 i(t) = 100t \] Multiplicamos toda la ecuación por 2 para simplificar: \[ \frac{d^2i(t)}{dt^2} + 20 \frac{di(t)}{dt} + 100 i(t) = 200t \] La solución general de esta ecuación diferencial de segundo orden se puede encontrar utilizando la forma homogénea y particular. ### Solución homogénea Primero, encontramos la solución homogénea asociada: \[ \frac{d^2i(t)}{dt^2} + 20 \frac{di(t)}{dt} + 100 i(t) = 0 \] La ecuación característica es: \[ r^2 + 20r + 100 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática: \[ r = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm \sqrt{0}}{2} = -10 \] Por lo tanto, tenemos una solución homogénea de la forma: \[ i_h(t) = (A + Bt)e^{-10t} \] donde \(A\) y \(B\) son constantes que se determinan con las condiciones iniciales. ### Solución particular Buscamos una solución particular \(i_p(t)\) para la ecuación inhomogénea. Como el lado derecho es un polinomio de grado 1, probamos con \(i_p(t) = At + B\). Derivando: \[ \frac{di_p(t)}{dt} = A \] \[ \frac{d^2i_p(t)}{dt^2} = 0 \] Sustituyendo en la ecuación diferencial: \[ 0 + 20A + 100(At + B) = 200t \] Esto simplifica a: \[ (100A)t + (20A + 100B) = 200t \] Igualando coeficientes, obtenemos: 1. \(100A = 200 \implies A = 2\) 2. \(20A + 100B = 0 \implies 40 + 100B = 0 \implies B = -0.4\) Por lo tanto, la solución particular es: \[ i_p(t) = 2t - 0.4 \] ### Solución completa La solución general es: \[ i(t) = i_h(t) + i_p(t) = (A + Bt)e^{-10t} + (2t - 0.4) \] ### Aplicando condiciones iniciales Dado que \(i(0) = 0\): \[ 0 = (A + 0)e^{0} + (0 - 0.4) \implies A - 0.4 = 0 \implies A = 0.4 \] Entonces, \[ i_h(t) = (0.4 + Bt)e^{-10t} \] Ahora necesitamos hallar \(B\) usando la condición inicial de la derivada. Calculamos: \[ \frac{di(t)}{dt} = \left( B e^{-10t} - 10(0.4 + Bt)e^{-10t} + 2 \right) \] En \(t=0\): \[ \frac{di(0)}{dt} = B - 10(0.4) + 2 = 0 \] De aquí, \[ B - 4 + 2 = 0 \implies B = 2 \] Finalmente, la solución completa es: \[ i(t) = (0.4 + 2t)e^{-10t} + (2t - 0.4) \] ### Estado estable El estado estable se obtiene al considerar el límite de \(i(t)\) cuando \(t \to \infty\): \[ \lim_{t \to \infty} (0.4 + 2t)e^{-10t} = 0 \] Por lo tanto, la corriente de estado estable es: \[ i_{ss}(t) = 2t - 0.4 \text{ (en estado estable y a largo plazo)} \] En resumen, el **circuito pasará a un estado estable con un incremento lineal en la corriente** después de un tiempo \( t \).