Encuentre la corriente de estado estable en un circuito lrc cuando L=1/2 h, r=100 Omh, c=0.02 f y el circuito es activado por una fuente de voltaje E(t)=100t voltios, además se sabe que i(0) = 0 amp
Para resolver el problema, primero podemos plantear la ecuación diferencial del circuito LRC en serie. La ecuación general para un circuito RLC en serie bajo la influencia de una fuente de voltaje \( E(t) \) es:
\[
L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = E(t)
\]
Dado que tenemos:
- \( L = \frac{1}{2} \, \text{H} \)
- \( R = 100 \, \Omega \)
- \( C = 0.02 \, \text{F} \)
- \( E(t) = 100t \, \text{V} \)
Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos:
\[
\frac{1}{2} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + 100 \frac{di(t)}{dt} + 50 i(t) = 100t
\]
Multiplicamos toda la ecuación por 2 para simplificar:
\[
\frac{d^2i(t)}{dt^2} + 200 \frac{di(t)}{dt} + 100 i(t) = 200t
\]
Ahora bien, para encontrar la corriente en estado estable, buscamos la solución particular cuando \( t \) es grande. Para un voltaje lineal \( E(t) = 100t \), se puede probar que una solución particular de la forma \( i_p(t) = At + B \) puede funcionar.
Calculamos la derivada:
\[
\frac{di_p(t)}{dt} = A
\]
\[
\frac{d^2i_p(t)}{dt^2} = 0
\]
Sustituyendo en la ecuación:
\[
0 + 200A + 100(At + B) = 200t
\]
Esto se convierte en:
\[
100At + (200A + 100B) = 200t
\]
Igualando coeficientes, tenemos:
1. Para \( t \): \( 100A = 200 \) --> \( A = 2 \)
2. Para la parte constante: \( 200A + 100B = 0 \) --> \( 200(2) + 100B = 0 \) --> \( 400 + 100B = 0 \) --> \( B = -4 \)
Por lo tanto, la solución particular es:
\[
i_p(t) = 2t - 4
\]
Así que, en estado estable, cuando \( t \to \infty \), la corriente se aproximará a:
\[
i(t) \approx 2t - 4
\]
Donde \( i(t) \) es la corriente en amperios, y \( t \) es el tiempo en segundos.
Update (2024-10-11):
Para resolver el problema, vamos a utilizar la ecuación diferencial que describe el comportamiento de un circuito RLC en serie, cuando se aplica una fuente de voltaje \( E(t) \). La ecuación es la siguiente:
\[
L \frac{d^2i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = E(t)
\]
Donde:
- \( L = \frac{1}{2} \, \text{H} = 0.5 \, \text{H} \)
- \( R = 100 \, \Omega \)
- \( C = 0.02 \, \text{F} \)
- \( E(t) = 100t \, \text{V} \)
Sustituyendo los valores en la ecuación nos queda:
\[
0.5 \frac{d^2i}{dt^2} + 100 \frac{di}{dt} + \frac{1}{0.02}i = 100t
\]
Primero, simplificamos coeficientes:
\[
0.5 \frac{d^2i}{dt^2} + 100 \frac{di}{dt} + 50i = 100t
\]
Multiplicamos toda la ecuación por 2 para elimininar el coeficiente \( 0.5 \):
\[
\frac{d^2i}{dt^2} + 200 \frac{di}{dt} + 100i = 200t
\]
Ahora, resolveremos la ecuación diferencial de segundo orden. La solución general de una ecuación diferencial homogénea (sin el término \( 200t \)) se obtiene resolviendo la ecuación:
\[
\frac{d^2i}{dt^2} + 200 \frac{di}{dt} + 100i = 0
\]
Calculamos el polinomio característico:
\[
r^2 + 200r + 100 = 0
\]
Utilizamos la fórmula cuadrática para resolver esto:
\[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 1 \), \( b = 200 \), y \( c = 100 \):
\[
r = \frac{-200 \pm \sqrt{20000 - 400}}{2}
\]
\[
r = \frac{-200 \pm \sqrt{19600}}{2}
\]
\[
r = \frac{-200 \pm 140}{2}
\]
Calculamos las dos raíces:
1. \( r_1 = \frac{-60}{2} = -30 \)
2. \( r_2 = \frac{-340}{2} = -170 \)
Por lo tanto, la solución homogénea es:
\[
i_h(t) = C_1 e^{-30t} + C_2 e^{-170t}
\]
Donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes a determinar. Ahora, para encontrar una solución particular \( i_p(t) \) de la ecuación no homogénea \( 200t \), probamos una solución de la forma \( i_p(t) = At + B \).
Sustituyendo \( i_p(t) = At + B \) en la ecuación original:
\[
\frac{d^2i_p}{dt^2} = 0, \quad \frac{di_p}{dt} = A
\]
Sustituyendo en la ecuación:
\[
0 + 200A + 100(At + B) = 200t
\]
Reorganizamos:
\[
(100A)t + (200A + 100B) = 200t
\]
De aquí, igualamos los coeficientes:
1. \( 100A = 200 \) \( \Rightarrow A = 2 \)
2. \( 200A + 100B = 0 \) \( \Rightarrow 200(2) + 100B = 0 \Rightarrow 400 + 100B = 0 \Rightarrow B = -4 \)
Por lo tanto, la solución particular es:
\[
i_p(t) = 2t - 4
\]
Finalmente, la solución completa del circuito es:
\[
i(t) = C_1 e^{-30t} + C_2 e^{-170t} + 2t - 4
\]
Usando las condiciones iniciales \( i(0) = 0 \) y, al derivar y aplicar \( \frac{di}{dt} \) para obtener \( \frac{di}{dt}\) al tiempo \( t=0\):
1. \( i(0) = C_1 + C_2 - 4 = 0 \)
2. Para \( \frac{di}{dt} \): \( \frac{di}{dt} = -30C_1 - 170C_2 + 2 \)
Evaluamos en \( t=0 \):
\[
-30C_1 - 170C_2 + 2 =
0 \]
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
1. \( C_1 + C_2 = 4 \)
2. \( -30C_1 - 170C_2 = -2 \)
Resolvemos para \( C_1 \) y \( C_2 \):
Del primer resultado, podemos expresar \( C_2 = 4 - C_1 \) y sustituir en el segundo:
\[
-30C_1 - 170(4-C_1) = -2 \\
-30C_1 - 680 + 170C_1 = -2 \\
140C_1 = 678 \Rightarrow C_1 = \frac{678}{140} \approx 4.843
\]
Sustituyendo \( C_1\) en la primera ecuación:
\[
C_2 = 4 - 4.843 \Rightarrow C_2 = -0.843
\]
Con estos valores, la corriente es:
\[
i(t) = 4.843 e^{-30t} - 0.843 e^{-170t} + 2t - 4
\]
Para encontrar la corriente en estado estable, evaluamos cuando \( t \) tiende a \( \infty \):
\[
\lim_{t \to \infty} i(t) = 2t - 4 \to 200 -4 = 196 \text{ (Corriente de estado estable no correctamente definida al final, esto llama a un cambio de modelo evaluando el exhausto como las tensiones en estabilidad solo dependen del término forzado que crece linealmente)**
\]
Este análisis muestra que la respuesta no tiene un límite superior en el tiempo cuando se trata continuamente y el estado exigido no se denomina condensador.
En conclusión, la corriente en estado estable se define principalmente por el comportamiento de la excitación forzada a lo largo del tiempo:
**\( i(t) \to 2t - 4 \) y no se distribuye un solo valor.**