Encuentre dos soluciones linealmente independientes en forma de Serie de Potencias para la ecuación Diferencial: (x2−1)y′′+4xy′+2y=0 centradas en el PUNTO ORDINARIO " X0=0 "
Para resolver la ecuación diferencial \( (x^2 - 1)y'' + 4xy' + 2y = 0 \) utilizando una serie de potencias centrada en el punto ordinario \( x_0 = 0 \), comenzamos asumiendo que la solución tiene la forma de una serie de potencias:
\[
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
\]
Donde \( a_n \) son los coeficientes a determinar. Derivamos \( y \) para obtener \( y' \) y \( y'' \):
\[
y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}
\]
\[
y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}
\]
Sustituimos \( y \), \( y' \) y \( y'' \) en la ecuación diferencial dada:
\[
(x^2 - 1) \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + 4x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0
\]
Llevamos cada término a un formato común para combinar las series:
1. Para el primer término \( (x^2 - 1)y'' \):
\[
(x^2 - 1) y'' = x^2 \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}
\]
La serie se convierte en:
\[
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^n - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}
\]
El segundo sumatorio se puede ajustar a \( n \) comenzando desde 0:
\[
= \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_{n+2} x^n
\]
2. Para el segundo término \( 4xy' \):
\[
4x y' = 4x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 4 \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n
\]
3. Para el tercer término \( 2y \):
\[
2y = 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
\]
Reuniendo todos los términos en una única serie, tenemos:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} (n(n-1)a_{n+2} + 4na_n + 2a_n)x^n = 0
\]
Igualamos cada coeficiente de \( x^n \) a cero:
\[
n(n-1) a_{n+2} + (4n + 2)a_n = 0
\]
Para \( n=0 \):
\[
a_2 = -\frac{2}{0 \cdot 1} a_0 \text{ (El término se elimina, así que no podemos usarlo)}
\]
Para \( n=1 \):
\[
a_3 = -\frac{6}{2} a_1 = -3 a_1
\]
Para \( n=2 \):
\[
2a_4 + 6a_2 = 0 \Rightarrow a_4 = -3 a_2
\]
Para \( n=3 \):
\[
6a_5 + 10 a_3 = 0 \Rightarrow a_5 = -\frac{10}{6} a_3 = -\frac{5}{3} a_3
\]
Y continuamos este proceso, generando una relación que nos permita establecer los términos a partir de \( a_0 \) y \( a_1 \).
Al resolver esto, obtenemos dos grupos de soluciones:
1. Una solución básica si elegimos \( a_0 = 1 \) y \( a_1 = 0 \) (lo que lleva a términos pares).
2. Otra solución si elegimos \( a_0 = 0 \) y \( a_1 = 1 \) (lo que lleva a términos impares).
Por lo tanto, las soluciones linealmente independientes en forma de serie de potencias centradas en \( x = 0 \) pueden ser expresadas como:
\[
y_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n} \quad (para\ a_0 \neq 0)
\]
\[
y_2(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^{2n+1} \quad (para\ b_1 \neq 0)
\]
Donde los coeficientes \( a_n \) y \( b_n \) se encuentran de acuerdo con las relaciones obtenidas arriba. Espere algunos resultados específicos para \( a_n \) o \( b_n \) según cómo los calcule.