Encuentre 𝑓(3.5) usando el método de Neville para los puntos: 𝑓(1) = 3, 𝑓(2) = 27, 𝑓(3) = 36 y 𝑓(4) = 58
El método de Neville es una técnica para interpolación polinómica que se utiliza para calcular el valor de una función en un punto intermedio, dado un conjunto de puntos conocidos.
Dado que tenemos los puntos:
- \( f(1) = 3 \)
- \( f(2) = 27 \)
- \( f(3) = 36 \)
- \( f(4) = 58 \)
Queremos calcular \( f(3.5) \) utilizando la tabla de Neville. Para este método, generamos una tabla en la que cada entrada \( P[i][j] \) representa el valor interpolado en el punto \( x_i \) usando \( j \) puntos a partir de \( x_i \).
**Paso 1: Inicializar la tabla.**
La primera columna será simplemente los valores de la función en los puntos dados:
\[
P[0][0] = f(1) = 3
\]
\[
P[1][0] = f(2) = 27
\]
\[
P[2][0] = f(3) = 36
\]
\[
P[3][0] = f(4) = 58
\]
\[
\begin{array}{c|c}
i & P[i][0] \\
\hline
0 & 3 \\
1 & 27 \\
2 & 36 \\
3 & 58 \\
\end{array}
\]
**Paso 2: Calcular los valores de \( P[i][j] \) para \( j = 1 \) a 3.**
La fórmula para el método de Neville es:
\[
P[i][j] = \frac{(x - x_i) P[i+1][j-1] - (x - x_{i+j}) P[i][j-1]}{x_{i+j} - x_i}
\]
De acuerdo a los valores que tenemos (donde \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \), y \( x_3 = 4 \)), queremos calcular \( P[0][2], P[1][1], P[2][1], P[0][3] \).
**Calcular \( P[0][1] \):**
\[
P[0][1] = \frac{(3.5 - 1) P[1][0] - (3.5 - 2) P[0][0]}{2 - 1}
\]
Sustituyendo:
\[
P[0][1] = \frac{(2.5) \cdot 27 - (1.5) \cdot 3}{1} = 67.5 - 4.5 = 63
\]
**Calcular \( P[1][1] \):**
\[
P[1][1] = \frac{(3.5 - 2) P[2][0] - (3.5 - 3) P[1][0]}{3 - 2}
\]
Sustituyendo:
\[
P[1][1] = \frac{(1.5) \cdot 36 - (0.5) \cdot 27}{1} = 54 - 13.5 = 40.5
\]
**Calcular \( P[2][1] \):**
\[
P[2][1] = \frac{(3.5 - 3) P[3][0] - (3.5 - 4) P[2][0]}{4 - 3}
\]
Sustituyendo:
\[
P[2][1] = \frac{(0.5) \cdot 58 - (-0.5) \cdot 36}{1} = 29 + 18 = 47
\]
**Calcular \( P[0][2] \):**
\[
P[0][2] = \frac{(3.5 - 1) P[1][1] - (3.5 - 2) P[0][1]}{2 - 1}
\]
Sustituyendo:
\[
P[0][2] = \frac{(2.5) \cdot 40.5 - (1.5) \cdot 63}{1} = 101.25 - 94.5 = 6.75
\]
**Calcular \( P[1][2] \):**
\[
P[1][2] = \frac{(3.5 - 2) P[2][1] - (3.5 - 3) P[1][1]}{3 - 2}
\]
Sustituyendo:
\[
P[1][2] = \frac{(1.5) \cdot 47 - (0.5) \cdot 40.5}{1} = 70.5 - 20.25 = 50.25
\]
**Calcular \( P[0][3] \):**
Finalmente, calculamos \( P[0][3] \):
\[
P[0][3] = \frac{(3.5 - 1) P[1][2] - (3.5 - 2) P[0][2]}{2 - 1}
\]
Sustituyendo:
\[
P[0][3] = \frac{(2.5) \cdot 50.25 - (1.5) \cdot 6.75}{1} = 126.75 - 10.125 = 116.625
\]
Finalmente, el valor de \( f(3.5) \) a través del método de Neville es aproximadamente:
\[
f(3.5) \approx 116.625
\]