¿cuál es el número de iteraciones requeridas por bisección para alcanzar una aproximación con una exactitud de 1E-5 a una solución en el intervalo [1, 2]?

El método de bisección es un algoritmo que encuentra una solución aproximada a una ecuación mediante la división repetida de un intervalo en dos mitades. Para determinar cuántas iteraciones se necesitan para alcanzar una aproximación con una exactitud específica, se puede usar la siguiente fórmula: \[ n \geq \frac{\log(b - a) - \log(\text{tol})}{\log(2)} \] donde: - \( [a, b] \) es el intervalo en el que estamos buscando la solución, en este caso \( [1, 2] \). - \( \text{tol} \) es la tolerancia deseada, en este caso \( 1E-5 \). 1. Determinamos \( b - a \): \[ b - a = 2 - 1 = 1 \] 2. Ahora calculamos el número de iteraciones necesarias: \[ n \geq \frac{\log(1) - \log(1E-5)}{\log(2)} \] Sabemos que \( \log(1) = 0 \), así que: \[ n \geq \frac{0 - (-5)}{\log(2)} = \frac{5}{\log(2)} \] 3. Calculamos \( \log(2) \) (en base 10 aproximadamente \( 0.3010 \)): \[ n \geq \frac{5}{0.3010} \approx 16.61 \] Como el número de iteraciones debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba, así que se requieren al menos 17 iteraciones para alcanzar una aproximación con una exactitud de \( 1E-5 \) en el intervalo [1, 2]. Update (2024-12-18): El método de bisección es un procedimiento numérico utilizado para encontrar raíces de funciones continuas. Para determinar el número de iteraciones requeridas para lograr una precisión deseada, puedes usar la siguiente fórmula: \[ n \geq \frac{\log_{2}(\frac{b - a}{\text{error deseado}})}{} \] donde: - \( [a, b] \) es el intervalo inicial que encierra la raíz. - \( \text{error deseado} \) es la precisión que deseas alcanzar (en este caso \( 1E-5 \)). Dado que el intervalo es \( [0, 2] \), tenemos: - \( a = 0 \) - \( b = 2 \) - \( b - a = 2 - 0 = 2 \) - \( \text{error deseado} = 1E-5 \) Ahora sustituimos estos valores en la fórmula: \[ n \geq \log_{2}\left(\frac{2}{1E-5}\right) \] Calculamos: \[ \frac{2}{1E-5} = 200000 \] Ahora, calculamos \( \log_{2}(200000) \): \[ n \geq \log_{2}(200000) \approx 17.6 \] Como el número de iteraciones debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba: \[ n \geq 18 \] Así que se necesitan al menos **18 iteraciones** en el método de bisección para alcanzar una aproximación con una exactitud de \( 1E-5 \) en el intervalo \( [0, 2] \). Update (2024-12-18): El método de bisección es una técnica numérica que se utiliza para encontrar raíces de funciones continuas en un intervalo cerrado. Para calcular el número de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación con una exactitud deseada, se puede usar la fórmula: \[ n \geq \frac{\log(b - a) - \log(\text{exactitud})}{\log(2)} \] Donde: - \( n \) es el número de iteraciones, - \( a \) y \( b \) son los extremos del intervalo (en este caso, \( a = 0 \) y \( b = 2 \)), - \(\text{exactitud}\) es el error deseado (en este caso, \( 1 \times 10^{-5} = 0.00001 \)). Primero, calculamos \( b - a \): \[ b - a = 2 - 0 = 2 \] Ahora sustituimos los valores en la fórmula: \[ n \geq \frac{\log(2) - \log(0.00001)}{\log(2)} \] Calculamos los logaritmos: - \( \log(2) \approx 0.3010 \) - \( \log(0.00001) = \log(10^{-5}) = -5 \cdot \log(10) \approx -5 \) Entonces, \[ n \geq \frac{0.3010 - (-5)}{0.3010} = \frac{0.3010 + 5}{0.3010} \approx \frac{5.3010}{0.3010} \approx 17.6 \] Ya que el número de iteraciones debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba. Por lo tanto, se requieren al menos 18 iteraciones para alcanzar una aproximación con una exactitud de \( 1E-5 \) en el intervalo [0, 2].