¿cuál de las siguientes funciones cumple que f'(x) es 0 al menos una vez en el intervalo [1, 2]? a. f(x)= (x+1)cos(pix) b. f(x)=(x+1)sen((pix)/2) c. f(x)= (x-1)sen(pix)
Para determinar cuál de las funciones dadas cumple que su derivada \( f'(x) \) es cero al menos una vez en el intervalo \([1, 2]\), podemos aplicar el Teorema de Bolzano (o el Teorema del Valor Intermedio) sobre la derivada en dicho intervalo. Esto se puede hacer analizando el comportamiento de la función y su derivada en el intervalo.
Analizaremos cada función por separado:
### a. \( f(x) = (x + 1) \cos(\pi x) \)
1. Encontramos la derivada usando la regla del producto y la regla de la cadena:
\[
f'(x) = (x + 1)(-\pi \sin(\pi x)) + \cos(\pi x)
\]
Al evaluar \( f'(x) \) en los extremos del intervalo:
- \( f'(1) = (1 + 1)(-\pi \sin(\pi \cdot 1)) + \cos(\pi \cdot 1) = 2 \cdot 0 - (-1) = 1 \)
- \( f'(2) = (2 + 1)(-\pi \sin(\pi \cdot 2)) + \cos(\pi \cdot 2) = 3 \cdot 0 + 1 = 1 \)
Como \( f'(1) \) y \( f'(2) \) son ambos positivos y no hay cambios de signo, por el Teorema de Bolzano, \( f'(x) \) no es igual a cero en \([1, 2]\).
### b. \( f(x) = (x + 1) \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \)
1. La derivada es:
\[
f'(x) = (x + 1) \left(\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right) + \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)
\]
Evaluando en \( x = 1 \) y \( x = 2 \):
- \( f'(1) = (1 + 1) \left(\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1 \)
- \( f'(2) = (2 + 1) \left(\frac{\pi}{2} \cos(\pi)\right) + \sin(\pi) = 3(-\frac{\pi}{2}) + 0 = -\frac{3\pi}{2} < 0 \)
Como \( f'(1) > 0 \) y \( f'(2) < 0 \), hay un cambio de signo, lo que implica que hay al menos un punto en \((1, 2)\) donde \( f'(x) = 0 \).
### c. \( f(x) = (x - 1) \sin(\pi x) \)
1. La derivada es:
\[
f'(x) = (x - 1) \pi \cos(\pi x) + \sin(\pi x)
\]
Evaluando en \( x = 1 \) y \( x = 2 \):
- \( f'(1) = (1 - 1) \pi \cos(\pi \cdot 1) + \sin(\pi \cdot 1) = 0 + 0 = 0 \)
- \( f'(2) = (2 - 1) \pi \cos(\pi \cdot 2) + \sin(\pi \cdot 2) = 1 \cdot (-\pi) + 0 = -\pi < 0 \)
Dado que \( f'(1) = 0 \), ya encontramos que existe un punto en el intervalo donde \( f'(x) = 0 \).
### Conclusión
La respuesta correcta es que tanto la función **b** como la función **c** cumplen que \( f'(x) = 0 \) en el intervalo \([1, 2]\). Sin embargo, específicamente la opción **c** tiene un punto donde \( f'(x) = 0 \) en un extremo del intervalo.