¿cuál de las siguientes funciones convergerá en la iteración de punto fijo en el intervalo [0,1]? a) x=(5/x^2)+2 b) x=5^x c) x=(2-e^x+x^2)/3

Para determinar si una función converge en la iteración de punto fijo, podemos aplicar el criterio de la contracción. Esto se hace revisando la derivada de la función involucrada en el intervalo dado. Si la magnitud de la derivada es menor que 1 en el intervalo, entonces la iteración converge. 1. **Función a)** \( x = \frac{5}{x^2} + 2 \) Reescribiendo esta función como \( g(x) = \frac{5}{x^2} + 2 \), encontramos la derivada: \[ g'(x) = -\frac{10}{x^3} \] Evaluando \( g'(x) \) en el intervalo \( [0, 1] \): - En \( x = 1 \), \( g'(1) = -10 \) (lo cual no cumple el criterio de contracción). - Aunque más cerca de \( x = 0 \) se vuelve indefinido. Por tanto, no cumple el criterio de convergencia. 2. **Función b)** \( x = 5^x \) Reescribiendo como \( g(x) = 5^x \), encontramos la derivada: \[ g'(x) = 5^x \ln(5) \] Evaluando \( g'(x) \) en el intervalo \( [0, 1] \): - En \( x = 0 \), \( g'(0) = \ln(5) \), que es mayor que 1. - En \( x = 1 \), \( g'(1) = 5 \ln(5)\), también mayor que 1. Por lo tanto, no cumple el criterio de convergencia. 3. **Función c)** \( x = \frac{2 - e^x + x^2}{3} \) Reescribiendo como \( g(x) = \frac{2 - e^x + x^2}{3} \), encontramos la derivada: \[ g'(x) = \frac{-e^x + 2x}{3} \] Necesitamos evaluar \( |g'(x)| \) en el intervalo \( [0, 1] \): - En \( x = 0 \): \( g'(0) = \frac{-1 + 0}{3} = -\frac{1}{3} \) - En \( x = 1 \): \( g'(1) = \frac{-e + 2}{3} \), donde \( e \approx 2.718 \), entonces \( g'(1) \approx \frac{-0.718}{3} \). Ambos valores son menores que 1 en valor absoluto. Por tanto, \( |g'(x)| < 1 \) en el intervalo \( [0, 1] \), lo que indica que esta función cumple el criterio de convergencia. **Conclusión:** La función que convergerá en la iteración de punto fijo en el intervalo [0, 1] es la **c)** \( x = \frac{2 - e^x + x^2}{3} \).