¿cuántas iteraciones se requieren por Newton para resolver x^3-2x^2-5=0 con tolerancia de 1E-4 y con Po=2?

Para resolver la ecuación \( f(x) = x^3 - 2x^2 - 5 = 0 \) utilizando el método de Newton, vamos a necesitar la derivada de la función: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x \] El método de Newton se basa en la fórmula de recurrencia: \[ P_{n+1} = P_n - \frac{f(P_n)}{f'(P_n)} \] Empezamos con la aproximación inicial \( P_0 = 2 \) y aplicamos el método hasta que la tolerancia de \( 1E-4 \) se cumpla. ### Iteraciones: 1. **Iteración 0:** - \( P_0 = 2 \) - \( f(2) = 2^3 - 2(2^2) - 5 = 8 - 8 - 5 = -5 \) - \( f'(2) = 3(2^2) - 4(2) = 12 - 8 = 4 \) - \( P_1 = 2 - \frac{-5}{4} = 2 + 1.25 = 3.25 \) 2. **Iteración 1:** - \( P_1 = 3.25 \) - \( f(3.25) = (3.25)^3 - 2(3.25^2) - 5 = 34.328125 - 21.125 - 5 = 8.203125 \) - \( f'(3.25) = 3(3.25^2) - 4(3.25) = 31.6875 - 13 = 18.6875 \) - \( P_2 = 3.25 - \frac{8.203125}{18.6875} \approx 3.25 - 0.438 \approx 2.812 \) 3. **Iteración 2:** - \( P_2 \approx 2.812 \) - \( f(2.812) \approx (2.812)^3 - 2(2.812^2) - 5 \approx 22.206 - 15.835 - 5 = 1.371 \) - \( f'(2.812) \approx 3(2.812^2) - 4(2.812) \approx 23.703 - 11.248 \approx 12.455 \) - \( P_3 \approx 2.812 - \frac{1.371}{12.455} \approx 2.812 - 0.110 = 2.702 \) 4. **Iteración 3:** - \( P_3 \approx 2.702 \) - \( f(2.702) \approx (2.702)^3 - 2(2.702^2) - 5 \approx 19.781 - 14.56 - 5 \approx 0.221 \) - \( f'(2.702) \approx 3(2.702^2) - 4(2.702) \approx 21.892 - 10.808 = 11.084 \) - \( P_4 \approx 2.702 - \frac{0.221}{11.084} \approx 2.702 - 0.020 = 2.682 \) 5. **Iteración 4:** - \( P_4 \approx 2.682 \) - \( f(2.682) \approx 0.001 \) (aproximadamente) - \( P_5 \approx 2.682 - \frac{0.001}{11.084} \approx 2.682 - 0.00009 \approx 2.682 \) Ahora, el valor de \( P_n \) ha convergido dentro del límite de tolerancia \( 1E-4 \). ### Resultado: Se necesitan **5 iteraciones** para resolver la ecuación con el método de Newton a una tolerancia de \( 1E-4 \) comenzando con \( P_0 = 2 \).