¿utilizando el teorema de Rolle cuál de las siguientes funciones cumple que f'(x) es 0 al menos una vez en el intervalo [1, 2]? a. f(x)= (x+1)cos(pix) b. f(x)=(x+1)sen((pix)/2) c. f(x)= (x-1)sen(pix)

Para aplicar el teorema de Rolle, primero debemos verificar si la función cumple con las condiciones del teorema en el intervalo \([1, 2]\): 1. La función debe ser continua en el intervalo cerrado \([a, b]\). 2. La función debe ser derivable en el intervalo abierto \((a, b)\). 3. Los valores de la función en los extremos del intervalo deben ser iguales, es decir, \(f(1) = f(2)\). Analizaremos cada una de las funciones dadas: ### a. \(f(x) = (x+1)\cos(\pi x)\) 1. **Continuidad y derivabilidad:** Ambas funciones están compuestas por funciones continuas y derivables (polinomios y funciones trigonométricas). 2. **Valores en los extremos:** - \(f(1) = (1+1)\cos(\pi \cdot 1) = 2(-1) = -2\) - \(f(2) = (2+1)\cos(\pi \cdot 2) = 3(1) = 3\) Como \(f(1) \neq f(2)\), esta función **no** cumple con el teorema de Rolle. ### b. \(f(x) = (x+1)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\) 1. **Continuidad y derivabilidad:** Nuevamente, se trata de funciones continuas y derivables. 2. **Valores en los extremos:** - \(f(1) = (1+1)\sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{2}\right) = 2(1) = 2\) - \(f(2) = (2+1)\sin\left(\frac{\pi \cdot 2}{2}\right) = 3(0) = 0\) Como \(f(1) \neq f(2)\), esta función **no** cumple con el teorema de Rolle. ### c. \(f(x) = (x-1)\sin(\pi x)\) 1. **Continuidad y derivabilidad:** Ambas funciones son continuas y derivables. 2. **Valores en los extremos:** - \(f(1) = (1-1)\sin(\pi \cdot 1) = 0 \cdot (0) = 0\) - \(f(2) = (2-1)\sin(\pi \cdot 2) = 1 \cdot (0) = 0\) Dado que \(f(1) = f(2)\), esta función **cumple con el teorema de Rolle**. ### Conclusión La única función que cumple con las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo \([1, 2]\) es **c. \(f(x) = (x-1)\sin(\pi x)\)**. Por lo tanto, hay al menos un punto \(c\) en el intervalo \((1, 2)\) donde \(f'(c) = 0\).