Las siguientes sucesiones son linealmente convergentes. Genere los primeros cinco términos de la sucesión {ˆpn} con el método 2 de Aitken: p0 = 0.5, Pn =3^−Pn−1, n ≥ 1
Para aplicar el método de Aitken, primero necesitamos calcular los términos de la sucesión \(\{p_n\}\) según la relación recursiva que has proporcionado, donde \(p_0 = 0.5\) y \(p_n = 3 - p_{n-1}\) para \(n \geq 1\). Después de obtener estos términos, construiremos la sucesión \(\{\hat{p}_n\}\) usando el método de Aitken.
**Paso 1: Calcular los primeros cinco términos de la sucesión \(\{p_n\}\)**
1. \(p_0 = 0.5\)
2. \(p_1 = 3 - p_0 = 3 - 0.5 = 2.5\)
3. \(p_2 = 3 - p_1 = 3 - 2.5 = 0.5\)
4. \(p_3 = 3 - p_2 = 3 - 0.5 = 2.5\)
5. \(p_4 = 3 - p_3 = 3 - 2.5 = 0.5\)
Observamos que los términos de la sucesión son alternantes:
\[
\{p_0, p_1, p_2, p_3, p_4\} = \{0.5, 2.5, 0.5, 2.5, 0.5\}
\]
**Paso 2: Aplicar el método de Aitken para generar la sucesión \(\{\hat{p}_n\}\)**
El método de Aitken se utiliza para acelerar la convergencia de la sucesión. Se calcula un nuevo término \(\hat{p}_n\) a partir de los términos \(p_n\), \(p_{n+1}\) y \(p_{n+2}\) como sigue:
\[
\hat{p}_n = p_n - \frac{(p_{n+1} - p_n)^2}{p_{n+2} - 2p_{n+1} + p_n}
\]
Para tender al menos tres términos, hacemos \(n=0\) y \(n=1\).
1. Calculemos \(\hat{p}_0\):
\[
p_0 = 0.5, \ p_1 = 2.5, \ p_2 = 0.5
\]
\[
\hat{p}_0 = 0.5 - \frac{(2.5 - 0.5)^2}{0.5 - 2(2.5) + 0.5} = 0.5 - \frac{(2)^2}{0.5 - 5 + 0.5} = 0.5 - \frac{4}{-4} = 0.5 + 1 = 1.5
\]
2. Ahora calculemos \(\hat{p}_1\):
\[
p_1 = 2.5, \ p_2 = 0.5, \ p_3 = 2.5
\]
\[
\hat{p}_1 = 2.5 - \frac{(0.5 - 2.5)^2}{2.5 - 2(0.5) + 2.5} = 2.5 - \frac{(-2)^2}{2.5 - 1 + 2.5} = 2.5 - \frac{4}{4} = 2.5 - 1 = 1.5
\]
3. La continuación no es necesaria porque \(\hat{p}_0\) y \(\hat{p}_1\) han convergido al mismo valor. A partir de los términos anteriores que son alternantes, podemos conjeturar que la sucesión se estabiliza en el valor de 1.5, aunque utilizamos solamente dos términos.
Por lo tanto, los primeros cinco términos de la sucesión \( \{\hat{p}_n\} \) son:
\[
\{\hat{p}_0, \hat{p}_1\} = \{1.5, 1.5\}
\]
En resumen, los términos alternantes de la sucesión \(\{p_n\}\) y la convergencia resultante de Aitken dan lugar a un \(1.5\) que se estabiliza:
\[
\{p_0, p_1, p_2, p_3, p_4\} = \{0.5, 2.5, 0.5, 2.5, 0.5\}
\]
\[
\{\hat{p}_0, \hat{p}_1\} = \{1.5, 1.5\}
\]