Una carga positiva q está fija en el punto x = 0, y= 0, y una carga negativa -2q se encuentra fija en el punto x = a, y= 0. a) Señale las posiciones de las cargas en un diagrama. b) Deduzca una expresión para el potencial V en puntos sobre el eje V x
Para resolver este problema, vamos a ir parte por parte y explicar cada uno de los incisos.
### a) Diagrama de las cargas
Podemos visualizar las cargas de la siguiente manera:
```
y
|
|
|
|
-------( +q )----------( -2q )-------------------------------- x
0 a
```
- La carga positiva \( +q \) está en el origen, en las coordenadas \( (0, 0) \).
- La carga negativa \( -2q \) se encuentra en la posición \( (a, 0) \).
### b) Expresión para el potencial \( V \)
El potencial eléctrico \( V \) por una carga puntual \( Q \) en un punto a una distancia \( r \) se da por la fórmula:
\[
V = k \frac{Q}{r}
\]
donde \( k \) es la constante de Coulomb. En este caso, vamos a calcular el potencial en un punto sobre el eje \( x \) que se encuentra a una distancia \( x \).
1. Para la carga positiva \( +q \) que se encuentra en el origen, la distancia al punto \( x \) es \( r_1 = x \). Entonces, su contribución al potencial es:
\[
V_1 = k \frac{q}{x}
\]
2. Para la carga negativa \( -2q \) que se encuentra en \( (a, 0) \), la distancia al punto \( x \) es \( r_2 = |x - a| \). Su contribución al potencial es:
\[
V_2 = k \frac{-2q}{|x - a|}
\]
Por lo tanto, el potencial total \( V \) en un punto \( x \) sobre el eje \( x \) es:
\[
V(x) = V_1 + V_2 = k \frac{q}{x} - k \frac{2q}{|x - a|}
\]
### c) Posiciones donde \( V = 0 \)
Para encontrar las posiciones donde \( V = 0 \), establecemos la ecuación:
\[
k \frac{q}{x} - k \frac{2q}{|x - a|} = 0
\]
Podemos simplificar las constantes y eliminar \( kq \) (si \( q \neq 0 \)):
\[
\frac{1}{x} = \frac{2}{|x - a|}
\]
De aquí tenemos dos casos:
1. **Caso 1: \( x < a \)**
En este intervalo, \( |x - a| = a - x \):
\[
\frac{1}{x} = \frac{2}{a - x} \implies a - x = 2x \implies a = 3x \implies x = \frac{a}{3}
\]
2. **Caso 2: \( x > a \)**
Aquí \( |x - a| = x - a \):
\[
\frac{1}{x} = \frac{2}{x - a} \implies x - a = 2x \implies -a = x \implies x = -a \, (\text{No se considera ya que } x > a)
\]
En resumen, la única solución válida es:
\[
x = \frac{a}{3} \quad (\text{para } x < a)
\]
### d) Gráfica de \( V(x) \) en el intervalo \( x = -2a \) a \( x = 2a \)
Para graficar \( V(x) \):
1. Para \( x < 0 \), \( V(x) = k \frac{q}{x} - k \frac{2q}{a - x} \)
2. Para \( 0 < x < a \), \( V(x) = k \frac{q}{x} - k \frac{2q}{a - x} \)
3. Para \( x = a \), el potencial diverge.
4. Para \( a < x < 2a \), \( V(x) = k \frac{q}{x} - k \frac{2q}{x - a} \)
Al graficar, observarás que:
- El potencial tiende a infinito negativo cerca de la carga negativa.
- Pasará por cero en \( x = \frac{a}{3} \).
- Se acercará a cero en el infinito positivo y negativo.
### e) Resultados cuando \( x \gg a \)
Cuando \( x \) es mucho mayor que \( a\) (\( x \gg a \)), podemos aproximar el potencial:
\[
V(x) \approx k \frac{q}{x} - k \frac{2q}{x} = k \left( \frac{q - 2q}{x} \right) = -k \frac{q}{x}
\]
Esto muestra que el potencial tiende hacia cero a medida que \( x \) se aleja mucho de las cargas. Esto se debe a que la influencia de las cargas disminuye a medida que nos alejamos de ellas en el espacio.