Чистый денежный поток задаётся выражением cf (t) = 3 + 0.1 * t. Непрерывная ставка дисконтирования составляет 0.07. Постройте модель накопленного дисконтированного потока для интервала времени tпринадлежит [0,T]
Чтобы построить модель накопленного дисконтированного потока для заданного чистого денежного потока \( cf(t) \) и непрерывной ставки дисконтирования, нужно использовать формулу для накопленного значения дисконтированного потока.
Чистый денежный поток задан как:
\[
cf(t) = 3 + 0.1 \cdot t
\]
Накопленный дисконтированный поток \( V(T) \) для периода времени \( [0, T] \) вычисляется по следующей формуле:
\[
V(T) = \int_0^T cf(t) \cdot e^{-rt} \, dt
\]
где \( r = 0.07 \) — ставка дисконтирования.
Теперь подставим \( cf(t) \) в интеграл:
\[
V(T) = \int_0^T (3 + 0.1 \cdot t) \cdot e^{-0.07t} \, dt
\]
Разделим интеграл на два:
\[
V(T) = \int_0^T 3 \cdot e^{-0.07t} \, dt + \int_0^T 0.1 \cdot t \cdot e^{-0.07t} \, dt
\]
### 1. Вычисление первого интеграла:
Для первого интеграла:
\[
\int_0^T 3 \cdot e^{-0.07t} \, dt = 3 \cdot \left[ -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \right]_0^T = -\frac{3}{0.07} \left( e^{-0.07T} - 1 \right)
\]
### 2. Вычисление второго интеграла:
Для второго интеграла, интеграл можно решить по частям, взяв:
- \( u = t \) и \( dv = e^{-0.07t} \, dt \).
Тогда:
- \( du = dt \),
- \( v = -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \).
Теперь,
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Подставим:
\[
\int t \cdot e^{-0.07t} \, dt = -\frac{1}{0.07} t e^{-0.07t} \Big|_0^T + \frac{1}{0.07} \int e^{-0.07t} \, dt
\]
\[
= -\frac{T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07} \left[-\frac{1}{0.07} e^{-0.07t}\right]_0^T
\]
\[
= -\frac{T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07^2} (e^{-0.07T} - 1)
\]
Теперь подставляем все в исходное выражение для \( V(T) \):
\[
V(T) = -\frac{3}{0.07} (e^{-0.07T} - 1) + 0.1 \left[ -\frac{T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07^2} (e^{-0.07T} - 1) \right]
\]
Таким образом, мы имеем полное выражение для накопленного дисконтированного потока \( V(T) \), которое можно использовать для дальнейших расчетов. В зависимости от значения \( T \) можно подставить численные значения для окончательного решения.
Update (2024-11-11):
Чтобы построить модель накопленного дисконтированного потока для заданного денежного потока и непрерывной ставки дисконтирования, необходимо выполнить интегрирование денежного потока с учетом дисконтирования.
Денежный поток задан формулой:
\[
cf(t) = 3 + 0.1t
\]
Непрерывная ставка дисконтирования равна \( r = 0.07 \).
Накопленный дисконтированный поток \( C(T) \) на интервале времени \( t \) от 0 до \( T \) можно выразить следующим образом:
\[
C(T) = \int_0^T cf(t) \cdot e^{-rt} dt
\]
Теперь подставим \( cf(t) \) в формулу:
\[
C(T) = \int_0^T (3 + 0.1t) \cdot e^{-0.07t} dt
\]
Этот интеграл можно разделить на два отдельных интеграла:
\[
C(T) = \int_0^T 3 \cdot e^{-0.07t} dt + \int_0^T 0.1t \cdot e^{-0.07t} dt
\]
### Первый интеграл:
Для первого интеграла:
\[
\int_0^T 3 \cdot e^{-0.07t} dt = 3 \cdot \left[ -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \right]_0^T = 3 \cdot \left( -\frac{1}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07} \right)
\]
Таким образом, получаем:
\[
\int_0^T 3 \cdot e^{-0.07t} dt = \frac{3}{0.07} \left( 1 - e^{-0.07T} \right)
\]
### Второй интеграл:
Для второго интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям, где \( u = t \) и \( dv = 0.1 e^{-0.07t} dt \).
Тогда \( du = dt \) и \( v = -\frac{0.1}{0.07} e^{-0.07t} \).
Применим формулу интегрирования по частям:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Получаем:
\[
\int_0^T 0.1t e^{-0.07t} dt = \left[ -\frac{0.1t}{0.07} e^{-0.07t} \right]_0^T + \frac{0.1}{0.07} \int_0^T e^{-0.07t} dt
\]
Первый член:
\[
-\frac{0.1T}{0.07} e^{-0.07T} + 0
\]
Второй член:
\[
\frac{0.1}{0.07} \cdot \frac{3}{0.07} \left( 1 - e^{-0.07T} \right)
\]
Объединив оба (первый и второй) члены, получаем для второго интеграла:
\[
-\frac{0.1T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{0.3}{0.07^2} \left( 1 - e^{-0.07T} \right)
\]
### Итоговое выражение для накопленного дисконтированного потока:
Сложив результаты обоих интегралов, получаем:
\[
C(T) = \frac{3}{0.07} \left( 1 - e^{-0.07T} \right) - \frac{0.1T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{0.3}{0.07^2} \left( 1 - e^{-0.07T} \right)
\]
Теперь упростим:
\[
C(T) = \left( \frac{3}{0.07} + \frac{0.3}{0.07^2} \right) \left( 1 - e^{-0.07T} \right) - \frac{0.1T}{0.07} e^{-0.07T}
\]
Подставив значения, вы получите окончательную форму накопленного дисконтированного потока для времени \( T \).
Update (2024-11-11):
Чистый денежный поток задаётся выражением \( cf(t) = 3 + 0.1 \cdot t \). Мы хотим построить модель накопленного дисконтированного потока на интервале времени \( t \in [0, T] \) с непрерывной ставкой дисконтирования \( r = 0.07 \).
Для вычисления накопленного дисконтированного потока мы используем интеграл:
\[
PV = \int_0^T cf(t) \cdot e^{-rt} \, dt
\]
Подставим выражение для \( cf(t) \):
\[
PV = \int_0^T (3 + 0.1t) e^{-0.07t} \, dt
\]
Теперь необходимо решать этот интеграл:
1. Первый член: \( \int_0^T 3 e^{-0.07t} \, dt \)
2. Второй член: \( \int_0^T 0.1t e^{-0.07t} \, dt \)
Первый интеграл:
\[
\int e^{-0.07t} dt = -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} + C
\]
Следовательно:
\[
\int_0^T 3 e^{-0.07t} \, dt = 3 \left[-\frac{1}{0.07} e^{-0.07t}\right]_0^T = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T})
\]
Второй интеграл можно решить методом интегрирования по частям:
\[
\int_0^T 0.1t e^{-0.07t} \, dt = -\frac{0.1}{0.07^2} e^{-0.07t} (0.07t + 1) \bigg|_0^T
\]
После упрощений получаем вклад второго члена. Объединив обе части, получим выражение для накопленного дисконтированного потока:
\[
PV = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T}) - e^{-0.07T} \left(\frac{0.1}{0.07^2} (0.07T + 1) - \frac{0.1}{0.07^2}\right)
\]
Итак, полученная модель накопленного дисконтированного потока на протяжении времени от 0 до T представлена означенной формулой.
Update (2024-11-11):
Для построения модели накопленного дисконтированного потока, давайте начнем с определения необходимых компонентов, используя заданное выражение для чистого денежного потока и непрерывную ставку дисконтирования.
Чистый денежный поток задаётся выражением:
\[
cf(t) = 3 + 0.1 \cdot t
\]
Непрерывная ставка дисконтирования равна \( r = 0.07 \).
Чтобы найти накопленный дисконтированный поток, необходимо интегрировать дисконтированный денежный поток по времени от 0 до \( T \). Дисконтированный денежный поток для данного момента времени \( t \) будет равен:
\[
cf(t) \cdot e^{-rt}
\]
Тогда накопленный дисконтированный поток \( C(T) \) будет рассчитан следующим образом:
\[
C(T) = \int_0^T cf(t) \cdot e^{-rt} \, dt
\]
Подставляя значение \( cf(t) \):
\[
C(T) = \int_0^T (3 + 0.1t) e^{-0.07t} \, dt
\]
Теперь мы можем разделить этот интеграл на две части:
\[
C(T) = \int_0^T 3 e^{-0.07t} \, dt + \int_0^T 0.1t e^{-0.07t} \, dt
\]
### Вычисление первого интеграла
Первый интеграл:
\[
\int_0^T 3 e^{-0.07t} \, dt = 3 \left[ -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \right]_0^T = 3 \left( -\frac{1}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07} \right)
\]
\[
= \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T})
\]
### Вычисление второго интеграла
Для второго интеграла используем интегрирование по частям. Пусть:
\[
u = t, \quad dv = e^{-0.07t} \, dt
\]
Тогда:
\[
du = dt, \quad v = -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t}
\]
Теперь применяем формулу интегрирования по частям:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Следовательно:
\[
\int_0^T 0.1t e^{-0.07t} \, dt = 0.1 \left[ -\frac{t}{0.07} e^{-0.07t} \right]_0^T + \frac{0.1}{0.07} \int_0^T e^{-0.07t} \, dt
\]
Вычисляем этот интеграл:
\[
= 0.1 \left( -\frac{T}{0.07} e^{-0.07T} + 0 \right) + \frac{0.1}{0.07} \cdot \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T})
\]
\[
= -\frac{0.1T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{0.3}{0.07^2} (1 - e^{-0.07T})
\]
Теперь, складывая оба интеграла, получаем функцию накопленного дисконтированного потока:
\[
C(T) = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T}) - \frac{0.1T}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{0.3}{0.07^2} (1 - e^{-0.07T})
\]
Теперь все элементы собраны, и это выражение определяет модель накопленного дисконтированного потока для интервала времени \( t \) от 0 до \( T \).
Update (2024-11-11):
Для построения модели накопленного дисконтированного потока на интервале времени \( t \in [0, T] \) нам нужно рассмотреть функцию чистого денежного потока \( cf(t) = 3 + 0.1 * t \) и применить непрерывное дисконтирование.
Формула для дисконтирования денежных потоков в текущий момент времени выглядит следующим образом:
\[
PV = \int_0^T cf(t) \cdot e^{-rt} \, dt
\]
где:
- \( PV \) — приведенная стоимость (накопленный дисконтированный поток),
- \( cf(t) \) — функция чистого денежного потока,
- \( r \) — ставка дисконтирования (в нашем случае \( r = 0.07 \)),
- \( t \) — время.
Теперь подставим выражение для \( cf(t) \):
\[
PV = \int_0^T (3 + 0.1t) \cdot e^{-0.07t} \, dt
\]
Теперь разделим интеграл на два:
\[
PV = \int_0^T 3 e^{-0.07t} \, dt + \int_0^T 0.1t \cdot e^{-0.07t} \, dt
\]
1. Рассмотрим первый интеграл:
\[
\int_0^T 3 e^{-0.07t} \, dt = 3 \cdot \left[ -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \right]_0^T = 3 \cdot \left(-\frac{1}{0.07}(e^{-0.07T} - 1)\right) = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T})
\]
2. Теперь рассмотрим второй интеграл. Для его вычисления воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть \( u = t \) и \( dv = e^{-0.07t} dt \).
Тогда \( du = dt \) и \( v = -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \).
Теперь, по формуле интегрирования по частям:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Подставим значения:
\[
\int_0^T 0.1 t \cdot e^{-0.07t} \, dt = 0.1 \left[ -\frac{1}{0.07} t e^{-0.07t} \right]_0^T - 0.1 \int_0^T -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \, dt
\]
Подставив пределы, получим:
\[
= 0.1 \left(-\frac{1}{0.07} T e^{-0.07T} + 0\right) + 0.1 \cdot \frac{1}{0.07} \cdot \frac{3}{0.07}(1 - e^{-0.07T})
= -\frac{0.1}{0.07} T e^{-0.07T} + \frac{0.3}{0.07^2} (1 - e^{-0.07T})
\]
Теперь суммируем оба интеграла:
\[
PV = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T}) - \frac{0.1}{0.07} T e^{-0.07T} + \frac{0.3}{0.07^2} (1 - e^{-0.07T})
\]
И упрощаем:
\[
PV = \left(\frac{3 + 0.3/0.07}{0.07}\right)(1 - e^{-0.07T}) - \frac{0.1 T e^{-0.07T}}{0.07}
\]
Таким образом, мы получили модель накопленного дисконтированного денежного потока на интервале \( t \in [0, T] \).
Update (2024-11-11):
Чтобы построить модель накопленного дисконтированного потока на интервале времени \( t \in [0, T] \), начнем с выражения для чистого денежного потока:
\[
cf(t) = 3 + 0.1 \cdot t
\]
Накопленный дисконтированный поток можно найти, используя формулу для непрерывного дисконтирования. Для непрерывной дисконтированной стоимости потока денежных средств, поступающих в момент времени \( t \), будем использовать следующую формулу:
\[
PV(T) = \int_{0}^{T} cf(t) \cdot e^{-rt} dt
\]
где:
- \( PV(T) \) — накопленная дисконтированная стоимость потока на интервале от 0 до T,
- \( r = 0.07 \) — ставка дисконтирования.
Теперь подставим выражение для \( cf(t) \):
\[
PV(T) = \int_{0}^{T} (3 + 0.1 \cdot t) \cdot e^{-0.07t} dt
\]
Разделим интеграл на два:
\[
PV(T) = \int_{0}^{T} 3 \cdot e^{-0.07t} dt + \int_{0}^{T} 0.1t \cdot e^{-0.07t} dt
\]
1. **Первый интеграл:**
\(
\int e^{-0.07t} dt = -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t}
\)
Таким образом, вычисляя первый интеграл:
\[
\int_{0}^{T} 3 \cdot e^{-0.07t} dt = 3 \left[ -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \right]_{0}^{T} = 3 \left(-\frac{1}{0.07} e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07}\right)
\]
\[
= \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T})
\]
2. **Второй интеграл:**
Используем интегрирование по частям:
Пусть \( u = t \), \( dv = e^{-0.07t} dt \)
Тогда \( du = dt \), \( v = -\frac{1}{0.07} e^{-0.07t} \).
По формуле интегрирования по частям:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
\[
\int t e^{-0.07t} dt = -\frac{1}{0.07} t e^{-0.07t} \bigg|_{0}^{T} + \frac{1}{0.07} \int e^{-0.07t} dt
\]
Подставляя результат первого интеграла:
\[
= -\frac{1}{0.07} T e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07} \left(-\frac{1}{0.07} e^{-0.07t}\right) \bigg|_{0}^{T}
\]
\[
= -\frac{1}{0.07} T e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07^2} (1 - e^{-0.07T})
\]
Теперь подставим всё в полное выражение для \( PV(T) \):
\[
PV(T) = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T}) + 0.1 \left[-\frac{1}{0.07} T e^{-0.07T} + \frac{1}{0.07^2}(1 - e^{-0.07T})\right]
\]
Соберем всё вместе:
\[
PV(T) = \frac{3}{0.07} (1 - e^{-0.07T}) - \frac{0.1}{0.07} T e^{-0.07T} + \frac{0.1}{0.07^2}(1 - e^{-0.07T})
\]
Таким образом, накопленная дисконтированная стоимость потока в момент времени \( T \) описывается полученной формулой.