Un objeto está experimentando MAS con un periodo de 0.900 s y una amplitud de 0.320 m. En t = 0 el objeto está en x = 0.320 m y se encuentra instantáneamente en reposo. Calcule el tiempo que tarda en ir a) de x = 0.320 m a x = 0.160 m, y b) de x = 0.1

Para resolver este problema, primero debemos entender la dinámica del Movimiento Armónico Simple (MAS). La función de posición para un oscilador en MAS puede expresarse como: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] donde: - \( A \) es la amplitud (\( A = 0.320 \, \text{m} \)), - \( \omega \) es la frecuencia angular (\( \omega = \frac{2\pi}{T} \)), - \( t \) es el tiempo, y - \( \phi \) es la fase inicial. Dado que en \( t = 0 \) el objeto está en \( x = 0.320 \, \text{m} \) y en reposo, podemos determinar que la fase inicial es \( \phi = 0 \). Por tanto, la ecuación se simplifica a: \[ x(t) = A \cos(\omega t) \] Ahora, calculamos \( \omega \): \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.900 \, \text{s}} \approx 6.98 \, \text{rad/s} \] ### Parte a: Tiempo de \( x = 0.320 \, \text{m} \) a \( x = 0.160 \, \text{m} \) Para encontrar el tiempo que tarda en ir de \( x = 0.320 \, \text{m} \) a \( x = 0.160 \, \text{m} \), igualamos la ecuación de posición a \( 0.160 \): \[ 0.160 = 0.320 \cos(6.98 t) \] Dividimos ambos lados por 0.320: \[ \frac{0.160}{0.320} = \cos(6.98 t) \] \[ 0.5 = \cos(6.98 t) \] El coseno es igual a \( 0.5 \) en ángulos de \( \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) o \( -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \). Consideramos el primer caso: \[ 6.98 t = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3 \cdot 6.98} \approx 0.149 \text{ s} \] El siguiente valor donde también se cumple que \( \cos(6.98 t) = 0.5 \) se encuentra en el siguiente ciclo del oscilador, pero eso no se aplica aquí, ya que estamos interesados en el primer movimiento hacia abajo. Por lo tanto, el tiempo que tarda en ir de \( 0.320 \, \text{m} \) a \( 0.160 \, \text{m} \) es aproximadamente \( 0.149 \, \text{s} \). ### Parte b: Tiempo de \( x = 0.160 \, \text{m} \) a \( x = 0 \) Ahora calculamos el tiempo que tarda en ir de \( x = 0.160 \, \text{m} \) a \( x = 0 \): Queremos encontrar \( t \) tal que: \[ 0 = 0.320 \cos(6.98 t) \] Lo que ocurre cuando \( \cos(6.98 t) = 0 \). Esto sucede en: \[ 6.98 t = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Para \( k = 0 \): \[ 6.98 t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi/2}{6.98} \approx 0.225 \text{ s} \] Calculando el tiempo entre \( 0.149 \, \text{s} \) y \( 0.225 \, \text{s} \): \[ t_{\text{total}} = 0.225 - 0.149 = 0.076 \, \text{s} \] ### Resumen: a) Tiempo de \( 0.320 \, \text{m} \) a \( 0.160 \, \text{m} \): \( 0.149 \, \text{s} \) b) Tiempo de \( 0.160 \, \text{m} \) a \( 0 \, \text{m} \): \( 0.076 \, \text{s} \)