Las ondas estacionarias en un alambre se describen con la ecuación (15.28), con AOE = 2.50 mm, w = 942 rad/s y k = 0.750pi rad/m. El extremo izquierdo del alambre está en x = 0. ¿A qué distancias de ese extremo están a) los nodos y b) los antinodos de la
Para determinar las posiciones de los nodos y antinodos en un alambre que soporta una onda estacionaria, necesitamos entender la relación de las longitudes de onda y las posiciones de nodos y antinodos.
1. **Longitud de onda (λ):**
La longitud de onda está relacionada con el número de onda \( k \) mediante la fórmula:
\[
k = \frac{2\pi}{\lambda}
\]
Entonces, podemos encontrar \( λ \):
\[
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.750\pi} = \frac{2}{0.750} = \frac{8}{3} \text{ m} \approx 2.67 \text{ m}
\]
2. **Posiciones de los nodos:**
Los nodos son puntos donde la amplitud de la onda es cero. Para ondas estacionarias, las posiciones de los nodos se dan por:
\[
x_n = n \frac{\lambda}{2}
\]
donde \( n = 0, 1, 2, 3, \ldots \)
Entonces:
- Para \( n = 0 \): \( x_0 = 0 \)
- Para \( n = 1 \): \( x_1 = 1 \cdot \frac{2.67}{2} \approx 1.34 \text{ m} \)
- Para \( n = 2 \): \( x_2 = 2 \cdot \frac{2.67}{2} \approx 2.67 \text{ m} \)
- Para \( n = 3 \): \( x_3 = 3 \cdot \frac{2.67}{2} \approx 4.01 \text{ m} \)
Los nodos están en \( x = 0, 1.34 \text{ m}, 2.67 \text{ m}, 4.01 \text{ m} \), etc.
3. **Posiciones de los antinodos:**
Los antinodos son puntos donde la amplitud de la onda es máxima. La posición de los antinodos se da por:
\[
x_{a} = \left(n + \frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}
\]
donde \( n = 0, 1, 2, 3, \ldots \)
Entonces:
- Para \( n = 0 \): \( x_{a0} = \left(0 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2.67}{2} \approx 0.67 \text{ m} \)
- Para \( n = 1 \): \( x_{a1} = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2.67}{2} \approx 2.00 \text{ m} \)
- Para \( n = 2 \): \( x_{a2} = \left(2 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2.67}{2} \approx 3.34 \text{ m} \)
Los antinodos están en \( x \approx 0.67 \text{ m}, 2.00 \text{ m}, 3.34 \text{ m}, \) etc.
### Resumen:
- **Nodos:** \( 0 \text{ m}, 1.34 \text{ m}, 2.67 \text{ m}, 4.01 \text{ m} \) (y así sucesivamente)
- **Antinodos:** \( 0.67 \text{ m}, 2.00 \text{ m}, 3.34 \text{ m} \) (y así sucesivamente)