Encontrar la Primera solución y1(x) de la ecuación diferencial: xy′′−xy′+y=0 Asociada al valor de r1 más grande.

La ecuación diferencial que se presenta es: \[ xy'' - xy' + y = 0. \] Para resolver esta ecuación, podemos intentar encontrar soluciones de la forma \(y = x^r\), donde \(r\) es una constante que debemos determinar. Primero, calculemos las derivadas de \(y\): \[ y' = r x^{r-1} \] \[ y'' = r(r-1)x^{r-2}. \] Sustituyendo \(y\), \(y'\) y \(y''\) en la ecuación diferencial, obtenemos: \[ x(r(r-1)x^{r-2}) - x(rx^{r-1}) + x^r = 0. \] Simplificando, tenemos: \[ r(r-1)x^{r-1} - r x^{r} + x^{r} = 0. \] Factorizando \(x^{r-1}\): \[ x^{r-1}[r(r-1) - r x + x] = 0. \] La parte dentro del corchete debe ser igual a cero para que la ecuación se cumpla (suponiendo que \(x \neq 0\)): \[ r(r-1) - r + 1 = 0. \] Simplificando, tenemos: \[ r^2 - 2r + 1 = 0. \] Esto puede ser factorizado como: \[ (r-1)^2 = 0. \] Por lo tanto, la única solución es \(r = 1\) (de multiplicidad 2). Esto implica que la solución general es de la forma: \[ y(x) = C_1 x^1 + C_2 x^1 \ln(x) = C_1 x + C_2 x \ln(x), \] donde \(C_1\) y \(C_2\) son constantes arbitrarias. La solución \(y_1(x)\), asociada al valor de \(r_1\) más grande, es: \[ y_1(x) = x. \] Así que la primera solución es \(y_1(x) = x\).