Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний описывает движение колеблющейся системы, например, пружины или маятника. Общее уравнение имеет вид:
\[
m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0,
\]
где:
- \(m\) — масса тела,
- \(k\) — жесткость пружины,
- \(x\) — смещение от положения равновесия,
- \(t\) — время.
Для упрощения, можно разделить все уравнение на массу \(m\), что приведет к следующей форме:
\[
\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0.
\]
Обозначив \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), где \(\omega\) — угловая частота, уравнение можно записать как:
\[
\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0.
\]
Это уравнение имеет общее решение в виде:
\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi),
\]
где:
- \(A\) — амплитуда колебаний,
- \(\phi\) — фаза, определяющая начальное положение колеблющейся системы в момент времени \(t=0\).
Таким образом, данное уравнение моделирует гармонические колебания, которые являются важным объектом изучения в физике и инженерии.