graficar la función cuadrática calculando su concavidad, eje de simetría, vértice e intersectos para: a) f(x)=3x^2 + 6x - 9 b) f(x)= 2x^2 -5x + 3 c) f(x)=4x^2 + 8x + 3

Para graficar las funciones cuadráticas dadas, calcularemos los valores de la concavidad, eje de simetría, vértice e intersecciones con los ejes (tanto el eje y como el eje x). ### a) \(f(x) = 3x^2 + 6x - 9\) 1. **Concavidad:** Dado que el coeficiente de \(x^2\) es positivo (3), la parábola abre hacia arriba. 2. **Eje de simetría:** Se calcula como \(x = -\frac{b}{2a}\), donde \(a = 3\) y \(b = 6\): \[ x = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1 \] 3. **Vértice:** Para encontrar el vértice, calculamos \(f(-1)\): \[ f(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12 \] Por lo tanto, el vértice es \((-1, -12)\). 4. **Intersecciones con el eje y:** Se calcula con \(f(0)\): \[ f(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 \] Así que la intersección con el eje y es \((0, -9)\). 5. **Intersecciones con el eje x:** Se encuentra resolviendo \(f(x) = 0\): \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] Dividiendo todo entre 3: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Factorizando: \[ (x + 3)(x - 1) = 0 \] Las soluciones son \(x = -3\) y \(x = 1\), entonces las intersecciones son \((-3, 0)\) y \((1, 0)\). ### Resumen para \(f(x) = 3x^2 + 6x - 9\): - Concavidad: Abre hacia arriba - Eje de simetría: \(x = -1\) - Vértice: \((-1, -12)\) - Intersección con eje y: \((0, -9)\) - Intersecciones con eje x: \((-3, 0)\) y \((1, 0)\) --- ### b) \(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\) 1. **Concavidad:** El coeficiente de \(x^2\) es positivo (2), por lo tanto, la parábola abre hacia arriba. 2. **Eje de simetría:** \[ x = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} \] 3. **Vértice:** \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 3 = \frac{50}{16} - \frac{25}{4} + 3 \] Simplificando: \[ = \frac{50}{16} - \frac{100}{16} + \frac{48}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8} \] El vértice es \(\left(\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}\right)\). 4. **Intersecciones con el eje y:** \[ f(0) = 3 \] Así que la intersección con el eje y es \((0, 3)\). 5. **Intersecciones con el eje x:** \[ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \] Usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4} \] Esto resulta en \(x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) y \(x = \frac{4}{4} = 1\). Así que las intersecciones son \(\left(1, 0\right)\) y \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\). ### Resumen para \(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\): - Concavidad: Abre hacia arriba - Eje de simetría: \(x = \frac{5}{4}\) - Vértice: \(\left(\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}\right)\) - Intersección con eje y: \((0, 3)\) - Intersecciones con eje x: \(\left(1, 0\right)\) y \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\) --- ### c) \(f(x) = 4x^2 + 8x + 3\) 1. **Concavidad:** El coeficiente de \(x^2\) es positivo (4), por lo tanto, la parábola abre hacia arriba. 2. **Eje de simetría:** \[ x = -\frac{8}{2 \cdot 4} = -1 \] 3. **Vértice:** \[ f(-1) = 4(-1)^2 + 8(-1) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] Entonces, el vértice es \((-1, -1)\). 4. **Intersecciones con el eje y:** \[ f(0) = 3 \] Así que la intersección con el eje y es \((0, 3)\). 5. **Intersecciones con el eje x:** \[ 4x^2 + 8x + 3 = 0 \] Usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{(8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{-8 \pm 4}{8} \] Esto resulta en \(x = -\frac{1}{2}\) y \(x = -\frac{3}{2}\). Así que las intersecciones son \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) y \(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\). ### Resumen para \(f(x) = 4x^2 + 8x + 3\): - Concavidad: Abre hacia arriba - Eje de simetría: \(x = -1\) - Vértice: \((-1, -1)\) - Intersección con eje y: \((0, 3)\) - Intersecciones con eje x: \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) y \(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\) --- Con esta información se puede graficar cada una de las funciones cuadráticas visualizando sus características.