obtenga una solución en serie de potencias con una serie centrada en cero, para la ecuación diferencial (x^2 +1)y´´ -6y = 0
Para resolver la ecuación diferencial
\[
(x^2 + 1)y'' - 6y = 0
\]
usaremos una serie de potencias centrada en cero. Suponemos que la solución \( y(x) \) puede expresarse como una serie de potencias de la forma:
\[
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
\]
Debemos calcular la segunda derivada \( y''(x) \):
\[
y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \quad \text{y} \quad y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}
\]
Sustituyendo \( y''(x) \) en la ecuación dada:
\[
(x^2 + 1) \left( \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \right) - 6 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0
\]
Expandimos \( (x^2 + 1)y'' \):
\[
(x^2 + 1) y'' = x^2 \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}
\]
Esto se puede escribir como:
\[
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n} + \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}
\]
Para facilitar la combinación de las series, cambiaremos el índice de la segunda serie (el que tiene \( x^{n-2} \)). Cuando cambiamos \( n \) por \( m \) donde \( m = n - 2 \), obtenemos:
\[
\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{m}
\]
Reuniendo todos los términos, la ecuación se convierte en:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \left( (n(n-1) a_n + (n+2)(n+1) a_{n+2}) - 6 a_n \right) x^n = 0
\]
Dado que esto debe ser cierto para todo \( x \), cada coeficiente de \( x^n \) debe ser cero:
\[
(n(n-1) - 6)a_n + (n+2)(n+1)a_{n+2} = 0
\]
De aquí, obtenemos la relación de recurrencia:
\[
(n + 2)(n + 1)a_{n + 2} = (6 - n(n - 1))a_n
\]
Reorganizando:
\[
a_{n+2} = \frac{(6 - n(n - 1))}{(n+2)(n+1)} a_n
\]
### Condiciones iniciales:
Debemos decidir los valores de \( a_0 \) y \( a_1 \). Si tomamos \( a_0 = C_1 \) y \( a_1 = C_2 \) como constantes arbitrarias, podemos calcular los siguientes términos.
### Cálculo de algunos términos:
1. Para \( n = 0 \):
\[
a_2 = \frac{(6 - 0)}{2 \cdot 1} a_0 = \frac{6}{2} a_0 = 3 a_0
\]
2. Para \( n = 1 \):
\[
a_3 = \frac{(6 - 1(0))}{3 \cdot 2} a_1 = \frac{6}{6} a_1 = a_1
\]
3. Para \( n = 2 \):
\[
a_4 = \frac{(6 - 2(1))}{4 \cdot 3} a_2 = \frac{(6 - 2)}{12} a_2 = \frac{4}{12} (3 a_0) = a_0
\]
4. Para \( n =3\):
\[
a_5 = \frac{(6 - 3(2))}{5 \cdot 4} a_3 = \frac{(6 - 6)}{20} a_1 = 0
\]
5. Para \( n = 4 \):
\[
a_6 = \frac{(6 - 4(3))}{6 \cdot 5} a_4 = (6 - 12)\frac{a_0}{30} = -\frac{6}{30}a_0 = -\frac{1}{5} a_0
\]
Así seguimos calculando términos hasta tener un patrón.
Finalmente, la solución es una combinación de potencias de \( x \) que será algo como:
\[
y(x) = a_0 \left( 1 + 3x^2 - \frac{1}{5}x^6 + \ldots \right) + a_1 \left( x + x^3 + a_2 x^4 + ... \right)
\]
Este proceso nos permite construir la solución en serie de potencias para la ecuación dada. El patrón se consolidará a medida que sigamos calculando más términos.