Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний описывает движение колеблющейся системы, например, пружины или маятника. Общее уравнение имеет вид: \[ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0, \] где: - \(m\) — масса тела, - \(k\) — жесткость пружины, - \(x\) — смещение от положения равновесия, - \(t\) — время. Для упрощения, можно разделить все уравнение на массу \(m\), что приведет к следующей форме: \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0. \] Обозначив \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), где \(\omega\) — угловая частота, уравнение можно записать как: \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0. \] Это уравнение имеет общее решение в виде: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi), \] где: - \(A\) — амплитуда колебаний, - \(\phi\) — фаза, определяющая начальное положение колеблющейся системы в момент времени \(t=0\). Таким образом, данное уравнение моделирует гармонические колебания, которые являются важным объектом изучения в физике и инженерии.