20 moles de etano sufren dos procesos consecutivos: primero una expansión isobárica reversible desde un volumen inicial de 2 litros hasta un volumen final de 10 litros, a 500.15 K y luego una expansión isotérmica hasta duplicar su volumen. Calcule el trab

Para resolver este problema vamos a calcular el trabajo efectuado en los dos procesos (expansión isobárica y expansión isotérmica) para un gas ideal y luego para un modelo virial truncado hasta el tercer coeficiente (que incluye la interacción entre las moléculas del gas). ### (a) Gast Ideal **1. Proceso de expansión isobárica (Reversible)** - En este proceso, la presión se mantiene constante. Podemos usar la ecuación del trabajo en una expansión isobárica: \[ W_{isobárico} = P \Delta V \] - La presión \(P\) se puede calcular usando la ecuación de estado de un gas ideal: \[ PV = nRT \Rightarrow P = \frac{nRT}{V} \] - En nuestro caso primero necesitamos calcular la presión inicial, usando \(n = 20 \, \text{mol}\), \(R = 0.0821 \, \text{L·atm/(K·mol)}\) y \(T = 500.15 \, \text{K}\) en el volumen inicial \(V_1 = 2 \, \text{L}\): \[ P = \frac{(20 \, \text{mol})(0.0821 \, \text{L·atm/(K·mol)})(500.15 \, \text{K})}{2 \, \text{L}} = \frac{820.84 \, \text{L·atm}}{2 \, \text{L}} = 410.42 \, \text{atm} \] - La variación de volumen: \[ \Delta V = V_f - V_i = 10 \, \text{L} - 2 \, \text{L} = 8 \, \text{L} \] - Entonces, el trabajo realizado en la expansión isobárica es: \[ W_{isobárico} = P \Delta V = 410.42 \, \text{atm} \times 8 \, \text{L} = 3283.36 \, \text{L·atm} \] - Convertimos el trabajo a Joules (1 L·atm = 101.325 J): \[ W_{isobárico} = 3283.36 \, \text{L·atm} \times 101.325 \, \text{J/L·atm} \approx 332,251.27 \, \text{J} \] **2. Proceso de expansión isotérmica (Reversible)** - En este caso, usamos la fórmula para el trabajo de una expansión isotérmica: \[ W_{isotérmico} = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \] - Dado que el volumen final es el doble que el volumen inicial: \[ V_i = 10 \, \text{L}, \quad V_f = 20 \, \text{L} \] \[ W_{isotérmico} = 20 \, \text{mol} \cdot 0.0821 \, \text{L·atm/(K·mol)} \cdot 500.15 \, \text{K} \cdot \ln\left(\frac{20 \, \text{L}}{10 \, \text{L}}\right) \] \[ W_{isotérmico} = 20 \cdot 0.0821 \cdot 500.15 \cdot \ln(2) \] Calculamos el logaritmo natural: \(\ln(2) \approx 0.693\) - Entonces: \[ W_{isotérmico} \approx 20 \cdot 0.0821 \cdot 500.15 \cdot 0.693 \approx 573.53 \, \text{L·atm} \approx 57,500.11 \, \text{J} \] **3. Trabajo total (Global)** \[ W_{total} = W_{isobárico} + W_{isotérmico} \approx 332,251.27 \, \text{J} + 57,500.11 \, \text{J} \approx 389,751.38 \, \text{J} \] ### (b) Modelo Virial Truncado hasta el tercer coeficiente Para el modelo virial debemos conocer el primer y segundo virial: \[ P V = n R T + \frac{n^2 B(T)}{V^2} + \frac{n^3 C(T)}{V^3} \] La formulación completa para calcular el trabajo utilizando el modelo virial puede ser bastante más extensa y dependerá de los valores específicos de los coeficientes \(B\) y \(C\). A menudo estos se obtienen a partir de datos experimentales del gas en cuestión. Sin conocer los valores específicos de \(B\) y \(C\), no podemos realizar cálculos certeros para este modelo. ### (c) Representación en Diagramas \(P-V\) y \(P-T\) **Diagrama \(P-V\)** - Durante la expansión isobárica: la presión permanece constante mientras el volumen cambia de 2 L a 10 L. - Durante la expansión isotérmica: la presión disminuye al duplicar el volumen a temperatura constante. **Diagrama \(P-T\)** - En una expansión isobárica: la temperatura es constante (500.15 K) mientras la presión está en reducción conforme aumenta el volumen. - En la expansión isotérmica, la presión disminuirá mientras se mantiene la temperatura constante durante todo el proceso. Todo esto debe ser trazado en los ejes correspondientes según la operación de los estados iniciales y finales. ### Conclusiones 1. El trabajo total realizado por el gas ideal es aproximadamente 389,751.38 J. 2. Para el modelo virial, necesitaremos valores para \(B\) y \(C\) del gas en cuestión para determinar el trabajo ejecutado en este modelo. 3. Los diagramas \(P-V\) y \(P-T\) pueden ser utilizados para visualizar la dinámica del sistema durante las expansiones correspondientes.