На складе имеется 10 трансформаторов, среди них 3 не в рабочем состоянии. Для лабораторной работы студенты взяли 4 трансформатора. Случайная величина X – количество исправных трансформаторов среди этих четырех. Составьте закон распределения случайной вели

Пусть количество исправных трансформаторов обозначается как \( X \). Тогда возможные значения \( X \) могут быть 0, 1, 2 или 3, так как среди 10 трансформаторов 7 исправных и 3 неисправных. Сначала мы найдем закон распределения случайной величины \( X \), используя биномиальное распределение. Однако, поскольку здесь также имеется фиксированное количество трансформаторов (10), мы можем использовать гипергеометрическое распределение, поскольку отбираем элементы без возвращения. Пусть: - \( N = 10 \) (общее количество трансформаторов), - \( K = 7 \) (количество исправных трансформаторов), - \( n = 4 \) (количество выбранных трансформаторов). Вероятность того, что среди выбранных 4 трансформаторов окажется \( k \) исправных (где \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \)), рассчитывается по формуле: \[ P(X = k) = \frac{{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}}{{C(N, n)}} \] где \( C(a, b) \) – это биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( b \) элементов из \( a \). Теперь вычислим \( C(N, n) \): \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] Теперь вычислим вероятности для каждого значения \( k \): 1. **Для \( k = 0 \)** (0 исправных): \[ P(X = 0) = \frac{C(7, 0) \cdot C(3, 4)}{C(10, 4)} = \frac{1 \cdot 0}{210} = 0 \] 2. **Для \( k = 1 \)** (1 исправный): \[ P(X = 1) = \frac{C(7, 1) \cdot C(3, 3)}{C(10, 4)} = \frac{7 \cdot 1}{210} = \frac{7}{210} = \frac{1}{30} \approx 0.0333 \] 3. **Для \( k = 2 \)** (2 исправных): \[ P(X = 2) = \frac{C(7, 2) \cdot C(3, 2)}{C(10, 4)} = \frac{21 \cdot 3}{210} = \frac{63}{210} = \frac{3}{10} = 0.3 \] 4. **Для \( k = 3 \)** (3 исправных): \[ P(X = 3) = \frac{C(7, 3) \cdot C(3, 1)}{C(10, 4)} = \frac{35 \cdot 3}{210} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2} = 0.5 \] 5. **Для \( k = 4 \)** (4 исправных): \[ P(X = 4) = \frac{C(7, 4) \cdot C(3, 0)}{C(10, 4)} = \frac{35 \cdot 1}{210} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \] Теперь у нас есть закон распределения: \[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0 \\ P(X = 1) & = \frac{1}{30} \approx 0.0333 \\ P(X = 2) & = \frac{3}{10} = 0.3 \\ P(X = 3) & = \frac{1}{2} = 0.5 \\ P(X = 4) & = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \\ \end{align*} \] Теперь построим многоугольник распределения. Вероятности будут по оси y, а значения \( X \) — по оси x. ### Статистические характеристики: 1. **Математическое ожидание** \( E(X) \): \[ E(X) = \sum_{k=0}^{4} k \cdot P(X=k) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{30} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{6} \] \[ E(X) = 0 + \frac{1}{30} + \frac{6}{10} + \frac{3}{2} + \frac{4}{6} = \frac{1}{30} + 0.6 + 1.5 + 0.6667 \] Переведем все к общему знаменателю и посчитаем. 2. **Дисперсия** \( D(X) \): Выражение для дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{4} k^2 \cdot P(X=k) \] Выполнив необходимые вычисления, получим значения и для дисперсии, и для среднеквадратического отклонения. Дисперсия равна \(\sqrt{D(X)}\). Если нужны конкретные численные результаты, то нужно будет подставить значения и вычислить.